¶ 지식 정보

¶ 무한대

절댓값이 어떤 실수보다도 더 큰 상태이다.

¶ 양의 무한대

어떤 양의 실수보다도 더 큰 상태이다.
양의 무한대는 기호로 $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$ 또는 $\mathrm{\infty }\backslash infty$로 나타낸다.

¶ 음의 무한대

어떤 음의 실수보다도 더 작은 상태이다.
음의 무한대는 기호로 $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$로 나타낸다.

¶ 극한

변수 $xx$가 $aa$가 아니면서 $aa$에 한없이(매우) 가까워질 때,
함수 $f(x)f(x)$가 일정한 값 $kk$에 가까워진다면 $kk$를 [$xx$가 $aa$에 한없이 가까워질 때 $f(x)f(x)$의 극한값]이라 한다.

이는 기호로 $\underset{x\to a}{}f(x)=k\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; a\}f(x)\; =\; k$로 나타낸다.

$\lim \backslash lim$는 극한 기호이며, 아래에 변수가 어떤 값에 가까워지는지 나타낸다.

¶ 극한 예시

함수 $f(x)=2x-4f(x)\; =\; 2x\; -\; 4$에 대하여 $\underset{x\to 3}{}f(x)\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; 3\}f(x)$의 값을 구해보자.

$xx$가 $33$에 한없이 가까워질 때 $f(x)f(x)$는 $f(3)=f(3)\; =\{\}$$2\times 3-4=2\; \backslash times\; 3\; -\; 4\; =\{\}$$6-4=6\; -\; 4\; =\{\}$$22$에 한없이 가까워지므로
$\underset{x\to 3}{}f(x)=2\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; 3\}f(x)\; =\; 2$이다.

¶ 수렴

변수 $xx$가 어떤 값 $aa$가 아니면서 $aa$에 한없이 가까워질 때, 함수 $f(x)f(x)$가 일정한 값 $kk$에 가까워진다면, $f(x)f(x)$는 $kk$에 수렴한다고 한다.

이는 기호로 $\underset{x\to a}{}f(x)=k\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; a\}f(x)\; =\; k$로 나타낸다.

¶ 수렴 예시

• 예시 $11$: 함수 $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$에 대하여 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}f(x)\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)$의 값을 구해보자.

$xx$가 $\mathrm{\infty }\backslash infty$에 한없이 가까워질 때 $f(x)f(x)$는 $00$에 가깝게 한없이 작아지므로
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}f(x)=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)\; =\; 0$이고, $f(x)f(x)$는 $00$에 수렴한다.

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• 예시 $22$: 함수 $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x+2}}f(x)\; =\; \backslash dfrac\{x\}\{x\; +\; 2\}$에 대하여 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}f(x)\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)$의 값을 구해보자.

$f(x)=f(x)\; =\{\}$${\displaystyle \frac{x}{x+2}}=\backslash dfrac\{x\}\{x\; +\; 2\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x}{x}}}{{\displaystyle \frac{x+2}{x}}}}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{x\}\{x\}\}\{\backslash dfrac\{x\; +\; 2\}\{x\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}}}\backslash dfrac\{1\}\{1\; +\; \backslash dfrac\{2\}\{x\}\}$이다.

이때 $xx$가 $\mathrm{\infty }\backslash infty$에 한없이 가까워질 때 ${\displaystyle \frac{2}{x}}\backslash dfrac\{2\}\{x\}$는 $00$에 가깝게 한없이 작아지므로
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}{\displaystyle \frac{2}{x}}=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\backslash dfrac\{2\}\{x\}\; =\; 0$이다.

그러므로 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}f(x)=\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)\; =\{\}$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{2}{x}}}}=\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\backslash dfrac\{1\}\{1\; +\; \backslash dfrac\{2\}\{x\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{1+0}}=\backslash dfrac\{1\}\{1\; +\; 0\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{1}}=\backslash dfrac\{1\}\{1\}\; =\{\}$$11$이고, $f(x)f(x)$는 $11$에 수렴한다.

¶ 발산

함수 $f(x)f(x)$가 수렴하지 않고 진동하거나, $xx$가 어떤 값에 한없이 가까워질 때,
$f(x)f(x)$가 한없이 커지거나 작아진다면(양이나 음의 무한대로 가는 경우) $f(x)f(x)$는 발산한다고 한다.

• $xx$가 어떤 값 $aa$에 한없이 가까워질 때, $f(x)f(x)$가 양의 무한대로 발산하는 경우:
  $\underset{x\to a}{}f(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; a\}f(x)\; =\; \backslash infty$로 나타낸다.

• $xx$가 어떤 값 $aa$에 한없이 가까워질 때, $f(x)f(x)$가 음의 무한대로 발산하는 경우:
  $\underset{x\to a}{}f(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; a\}f(x)\; =\; -\backslash infty$로 나타낸다.

¶ 발산 예시

함수 $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^\{2\}$에 대하여 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}f(x)\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)$의 값을 구해보자.

$xx$가 $\mathrm{\infty }\backslash infty$에 한없이 가까워질 때 $f(x)f(x)$는 양의 무한대에 한없이 가까워지므로
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{}f(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}f(x)\; =\; \backslash infty$이고, $f(x)f(x)$는 발산한다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항