함수 f(x)에 대하여 x=a에서 미분계수 f′(a)=Δx→0limΔxf(a+Δx)−f(a)가 존재할 때, f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 한다.
y=f(x)가 모든 x의 값에서 미분가능할 때, f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)를 y=f(x)의 도함수라 한다.
어떤 함수의 도함수를 구하는 과정이다.
미분한 함수는 기호 다음에 미분한 횟수만큼 ′을 추가하여 나타낸다.
- y=f(x)를 한 번 미분한 경우 y′=f′(x)로 나타낸다.
- y=g(x)를 두 번 미분한 경우 y′′=g′′(x)로 나타낸다.
- y=h(x)를 세 번 미분한 경우 y′′′=h′′′(x)로 나타낸다.
y˙나 y¨와 같이 ′ 대신 기호 위에 점을 찍어 나타내기도 한다.
미분할 때 Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)를 매번 계산하기 복잡하므로 자주 쓰이는 패턴을 공식으로 만든 것이다.
c는 상수, n은 0이 아닌 실수, f(x)는 미분가능한 함수, a는 a>0, a=1인 실수라 할 때, 아래를 만족한다.
- y=c이면 y′=0이다.
- y=xn이면 y′=nxn−1이다.
- y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이다.
- y=lnx이면 y′=x1이다.
- y=ax이면 y′=axlna이다.
- y=logax이면 y′=xlna1이다.
- y=c이면 y′=0 활용 예시:
함수 f(x)=6에 대하여 f′(5)의 값을 구해보자.
6은 값이 정해져 변하지 않는 상수이므로 f′(x)=0이다.
그러므로 x의 값에 상관없이 f′(x)의 값은 항상 0이므로 f′(5)=0이다.
- y=xn이면 y′=nxn−1 활용 예시:
함수 g(x)=2x3에 대하여 g′(2)의 값을 구해보자.
f(x)=x3이라 하면 g(x)=2f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
g(x)=2f(x)를 미분하면
g′(x)=2f′(x)⋯①이다.
y=xn이면 y′=nxn−1이므로
f(x)=x3을 미분하면 f′(x)=3x3−1=3x2이다.
이를 ①에 넣으면
g′(x)=2f′(x)에서
g′(x)=2×3x2=6x2이다.
그러므로 g′(2)=6×22=6×4=24이다.
- y=lnx이면 y′=x1 활용 예시:
함수 g(x)=6lnx에 대하여 g′(2)의 값을 구해보자.
f(x)=lnx라 하면 g(x)=6f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
g(x)=6f(x)를 미분하면
g′(x)=6f′(x)⋯①이다.
y=lnx이면 y′=x1이므로
f(x)=lnx를 미분하면 f′(x)=x1이다.
이를 ①에 넣으면
g′(x)=6f′(x)에서
g′(x)=6×x1=x6이다.
그러므로 g′(2)=26=3이다.
- y=ax이면 y′=axlna 활용 예시:
함수 g(x)=ln22x에 대하여 g′(3)의 값을 구해보자.
f(x)=2x이라 하면 g(x)=ln21f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
g(x)=ln21f(x)를 미분하면
g′(x)=ln21f′(x)⋯①이다.
y=ax이면 y′=axlna이므로
f(x)=2x을 미분하면 f′(x)=2xln2이다.
이를 ①에 넣으면
g′(x)=ln21f′(x)에서
g′(x)=ln21×2xln2=2x이다.
그러므로 g′(3)=23=8이다.
- y=logax이면 y′=xlna1 활용 예시:
함수 h(x)=3log2x에 대하여 h′(3)의 값을 구해보자.
f(x)=log2x라 하면 h(x)=3f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
h(x)=3f(x)를 미분하면
h′(x)=3f′(x)⋯①이다.
y=logax이면 y′=xlna1이므로
f(x)=log2x를 미분하면 f′(x)=xln21이다.
이를 ①에 넣으면
h′(x)=3f′(x)에서
h′(x)=3×xln21=xln23이다.
그러므로 h′(3)=3ln23=ln21이다.
두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때,
- y=f(x)+g(x)이면 y′=f′(x)+g′(x)이다.
- y=f(x)−g(x)이면 y′=f′(x)−g′(x)이다.
함수 h(x)=2x3+3x2에 대하여 h′(1)의 값을 구해보자.
f(x)=x3, g(x)=x2이라 하면 h(x)=2f(x)+3g(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이고,
y=f(x)+g(x)이면 y′=f′(x)+g′(x)이다.
그러므로 h(x)=2f(x)+3g(x)를 미분하면 h′(x)=2f′(x)+3g′(x)⋯①이다.
y=xn이면 y′=nxn−1이므로
f(x)=x3을 미분하면 f′(x)=3x3−1=3x2이고,
g(x)=x2을 미분하면 g′(x)=2x2−1=2x이다.
이를 ①에 넣으면
h′(x)=2f′(x)+3g′(x)에서
h′(x)=2×3x2+3×2x=6x2+6x이다.
그러므로 h′(1)=6×12+6×1=6+6=12이다.
정답: $3$
f(x)=log3x라 하면 g(x)=2ln3f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
g(x)=2ln3f(x)를 미분하면
g′(x)=2ln3f′(x)⋯①이다.
y=logax이면 y′=xlna1이므로
f(x)=log3x를 미분하면 f′(x)=xln31이다.
이를 ①에 넣으면
g′(x)=2ln3f′(x)에서
g′(x)=2ln3×xln31=2x1이다.
그러므로 g′(2)=2×21=41이다.
따라서 정답은 3번이다.
정답: $2$
f(x)=x5, g(x)=x2이라 하면 h(x)=201f(x)−21g(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이고,
y=f(x)−g(x)이면 y′=f′(x)−g′(x)이다.
그러므로 h(x)=201f(x)−21g(x)를 미분하면 h′(x)=201f′(x)−21g′(x)⋯①이다.
y=xn이면 y′=nxn−1이므로
f(x)=x5을 미분하면 f′(x)=5x5−1=5x4이고,
g(x)=x2을 미분하면 g′(x)=2x2−1=2x이다.
이를 ①에 넣으면
h′(x)=201f′(x)−21g′(x)에서
h′(x)=201×5x4−21×2x,
h′(x)=41x4−x이다.
그러므로 h′(2)=41×24−2=41×16−2=4−2=2이다.
따라서 정답은 2번이다.
