입력값 범위에 따라 출력값 계산이 달라지는 함수는 중괄호 {를 사용하여 나타낸다.
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예시1:
함수 f(x)가 x>0일 때 f(x)=−x이고, x≤0일 때 f(x)=x2이면 f(x)={−xx2(x>0)(x≤0)와 같이 나타낸다.
f(x)의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.
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예시2:
함수 g(x)가 x=0일 때 g(x)=x2이고, x=0일 때 g(x)=1이면 g(x)={x21(x=0)(x=0)와 같이 나타낸다.
g(x)의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.
한 입력값에 대한 출력값이 그래프상 주변과 이어져 있지 않고 떨어져 있는 경우, 해당 지점을 검은색 점으로 나타내고,
그래프상 주변과 이어져 있으나 함수의 그래프에 포함되지 않는 경우, 해당 지점을 흰색 점으로 나타낸다.
입력값이 연속적으로 변할 때, 출력값이 연속적으로 변하는 함수이다.
연속함수는 아래 두 조건을 만족해야 한다.
1. 입력값(변수)에 해당하는 출력값(함숫값)이 있다.
2. 극한값 x→alimf(x)가 존재하고, x→alimf(x)=f(a)이다.
함수 f(x)={x+k1(x=0)(x=0)에 대하여 f(x)가 x=0에서 연속이 되도록 하는 실수 k의 값을 구해보자.
y=x+k는 x=0일 때 y=k이므로 y 절편은 k이고, 기울기가 1이므로 x가 1만큼 증가할 때 y도 1만큼 증가한다.
따라서 f(x)의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.
연속함수는 아래 두 조건을 만족해야 한다.
1. 입력값(변수)에 해당하는 출력값(함숫값)이 있다.
2. 극한값 x→alimf(x)가 존재하고, x→alimf(x)=f(a)이다.
모든 입력값(x의 값)에 해당하는 출력값(y의 값)이 있으므로 1번 조건을 만족한다.
2번 조건을 만족하기 위해서는 x→0limf(x)=f(0)을 만족해야 한다.
x가 0으로 한없이 가까워질 때는 x가 정확히 0은 아니므로 f(x)=x+k일 때이다.
그러므로 x→0limf(x)=x→0lim(x+k)=0+k=k이고,
f(0)은 x가 정확히 0일 때의 출력값이므로 f(0)=1이다.
따라서 x→0limf(x)=f(0),
k=1이다.
정답: $3$
연속함수는 아래 두 조건을 만족해야 한다.
1. 입력값(변수)에 해당하는 출력값(함숫값)이 있다.
2. 극한값 x→alimf(x)가 존재하고, x→alimf(x)=f(a)이다.
모든 입력값(x의 값)에 해당하는 출력값(y의 값)이 있으므로 1번 조건을 만족한다.
2번 조건을 만족하기 위해서는 x→2limf(x)=f(2)를 만족해야 한다.
x가 2로 한없이 가까워질 때는 x가 정확히 2는 아니므로 f(x)=x3−k일 때이다.
그러므로 x→2limf(x)=x→2lim(x3−k)=23−k=8−k이고,
f(2)는 x가 정확히 2일 때의 출력값이므로 f(2)=2이다.
따라서 x→2limf(x)=f(2),
8−k=2,
−k=2−8,
−k=−6,
k=6이다.
따라서 정답은 3번이다.
정답: $2$
연속함수는 아래 두 조건을 만족해야 한다.
1. 입력값(변수)에 해당하는 출력값(함숫값)이 있다.
2. 극한값 x→alimf(x)가 존재하고, x→alimf(x)=f(a)이다.
모든 입력값(x의 값)에 해당하는 출력값(y의 값)이 있으므로 1번 조건을 만족한다.
2번 조건을 만족하기 위해서는 x→21limf(x)=f(21)을 만족해야 한다.
x가 21로 한없이 가까워질 때는 x가 정확히 21은 아니므로 f(x)=3k일 때이다.
그러므로 x→21limf(x)=3k이고,
f(21)은 x가 정확히 21일 때의 출력값이므로 f(21)=(21)2+k=41+k이다.
따라서 x→21limf(x)=f(21),
41+k=3k,
41=3k−k,
41=2k,
k=81이다.
따라서 정답은 2번이다.
