x가 0에 한없이 가까워질 때, (1+x)x1은 일정한 값에 가까워지며, 이 값을 e로 나타낸다.
수식으로 나타내면 x→0lim(1+x)x1=e=2.718⋯이다.
밑이 무리수 e인 로그이다.
밑을 적지 않으며, log 대신 ln으로 나타낸다.
lnx는 logex와 같으므로 자연로그는 아래와 같은 성질을 갖는다.
-
ln1=0이다.
-
lnex=x이다.
-
lnNM=lnN+lnM이다.
-
lnMN=lnN−lnM이다.
-
k가 실수일 때, lnNk=klnN이다.
lne2+lne3을 구해보자.
lnex=x이므로 lne2=2이고, lne3=3이다.
따라서 lne2+lne3=2+3=5이다.
lnNM=lnN+lnM을 활용하는 경우:
lnNM=lnN+lnM,
lnN+lnM=lnNM이므로
lne2+lne3=ln(e2×e3)=lne2+3=lne5=5이다.
y=lnx의 그래프는 아래 그림과 같다.
- e>1이므로, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
- y=lnx는 ey=x로 나타낼 수 있으므로
y=0일 때, e0=x=1이다. 따라서 (1,0)을 지난다.
- x=e일 때, y=lne=lne1=1이므로 (e,1)을 지난다.
y=lnx3의 그래프를 그려보자.
- e>1이므로, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
- y=lnx3은 ey=x3으로 나타낼 수 있으므로
y=0일 때, e0=x3=1이다. 따라서 (1,0)을 지난다.
- x=e일 때, y=lne3=3이므로 (e,3)을 지난다.
따라서 y=lnx3의 그래프는 아래 그림과 같다.
정답: $3$
∘ lnex=x를 활용하는 경우:
lnex=x이므로 lne5=5이고,
4lne=4lne0.5=4×0.5=2이다.
따라서 lne5−4lne=5−2=3이다.
∘ k가 실수일 때, lnNk=klnN과 lnMN=lnN−lnM을 활용하는 경우:
lnNk=klnN,
klnN=lnNk이므로
4lne=ln(e)4=lne0.5×4=lne2이다.
그러므로 lne5−4lne는
lne5−lne2이다.
이때 lnMN=lnN−lnM,
lnN−lnM=lnMN이므로
lne5−lne2=lne2e5=lne5−2=lne3=3이다.
따라서 정답은 3번이다.
정답: $1$
- e>1이므로, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
- y=lnx는 ey=x로 나타낼 수 있으므로
y=0일 때, e0=x=1이다. 따라서 (1,0)을 지난다.
- x=e일 때, y=lne=lne0.5=0.5이므로 (e,0.5)를 지난다.
그러므로 y=lnx의 그래프는 아래 그림과 같다.
따라서 정답은 1번이다.
