¶ 지식 정보

¶ 무리수 e

$xx$가 $00$에 한없이 가까워질 때, $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}(1\; +\; x)^\{\backslash frac\{1\}\{x\}\}$은 일정한 값에 가까워지며, 이 값을 $ee$로 나타낸다.
수식으로 나타내면 $\underset{x\to 0}{}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e=2.718\cdots \backslash lim\backslash limits\_\{x\; \backslash to\; 0\}(1\; +\; x)^\{\backslash frac\{1\}\{x\}\}\; =\; e\; =\; 2.718\backslash cdots$이다.

¶ 자연로그

밑이 무리수 $ee$인 로그이다.
밑을 적지 않으며, $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\backslash mathrm\{log\}$ 대신 $\ln \backslash ln$으로 나타낸다.

¶ 자연로그의 성질

$\ln x\backslash ln\{x\}$는 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{e}x\backslash mathrm\{log\}\_\{e\}\{x\}$와 같으므로 자연로그는 아래와 같은 성질을 갖는다.

• $\ln 1=0\backslash ln\{1\}\; =\; 0$이다.

• $\ln e^x=x\backslash ln\{e^\{x\}\}\; =\; x$이다.

• $\ln NM=\ln N+\ln M\backslash ln\{NM\}\; =\; \backslash ln\{N\}\; +\; \backslash ln\{M\}$이다.

• $\ln {\displaystyle \frac{N}{M}}=\ln N-\ln M\backslash ln\{\backslash dfrac\{N\}\{M\}\}\; =\; \backslash ln\{N\}\; -\; \backslash ln\{M\}$이다.

• $kk$가 실수일 때, $\ln N^k=k\ln N\backslash ln\{N^\{k\}\}\; =\; k\backslash ln\{N\}$이다.

¶ 자연로그의 성질 예시

$\ln e^2+\ln e^3\backslash ln\{e^\{2\}\}\; +\; \backslash ln\{e^\{3\}\}$을 구해보자.

$\ln e^x=x\backslash ln\{e^\{x\}\}\; =\; x$이므로 $\ln e^2=2\backslash ln\{e^\{2\}\}\; =\; 2$이고, $\ln e^3=3\backslash ln\{e^\{3\}\}\; =\; 3$이다.
따라서 $\ln e^2+\ln e^3=\backslash ln\{e^\{2\}\}\; +\; \backslash ln\{e^\{3\}\}\; =\{\}$$2+3=2\; +\; 3\; =\{\}$$55$이다.

$\ln NM=\ln N+\ln M\backslash ln\{NM\}\; =\; \backslash ln\{N\}\; +\; \backslash ln\{M\}$을 활용하는 경우:
$\ln NM=\ln N+\ln M\backslash ln\{NM\}\; =\; \backslash ln\{N\}\; +\; \backslash ln\{M\}$,
$\ln N+\ln M=\ln NM\backslash ln\{N\}\; +\; \backslash ln\{M\}\; =\; \backslash ln\{NM\}$이므로
$\ln e^2+\ln e^3=\backslash ln\{e^\{2\}\}\; +\; \backslash ln\{e^\{3\}\}\; =\{\}$$\ln (e^2\times e^3)=\backslash ln(e^\{2\}\; \backslash times\; e^\{3\})\; =\{\}$$\ln e^{2+3}=\backslash ln\{e^\{2+3\}\}\; =\{\}$$\ln e^5=\backslash ln\{e^\{5\}\}\; =\{\}$$55$이다.

¶ 자연로그함수의 그래프

$y=\ln xy\; =\; \backslash ln\{x\}$의 그래프는 아래 그림과 같다.

• $e>1e\; >\; 1$이므로, $xx$의 값이 증가하면 $yy$의 값도 증가한다.
• $y=\ln xy\; =\; \backslash ln\{x\}$는 $e^y=xe^\{y\}\; =\; x$로 나타낼 수 있으므로
  $y=0y\; =\; 0$일 때, $e^0=x=1e^\{0\}\; =\; x\; =\; 1$이다. 따라서 $(1,0)(1,\; 0)$을 지난다.
• $x=ex\; =\; e$일 때, $y=y\; =\{\}$$\ln e=\backslash ln\{e\}\; =\{\}$$\ln e^1=\backslash ln\{e^\{1\}\}\; =\{\}$$11$이므로 $(e,1)(e,\; 1)$을 지난다.

¶ 자연로그함수의 그래프 예시

$y=\ln x^{3}y\; =\; \backslash ln\{x^\{3\}\}$의 그래프를 그려보자.

• $e>1e\; >\; 1$이므로, $xx$의 값이 증가하면 $yy$의 값도 증가한다.
• $y=\ln x^{3}y\; =\; \backslash ln\{x^\{3\}\}$은 $e^y=x^{3}e^\{y\}\; =\; x^\{3\}$으로 나타낼 수 있으므로
  $y=0y\; =\; 0$일 때, $e^0=x^3=1e^\{0\}\; =\; x^\{3\}\; =\; 1$이다. 따라서 $(1,0)(1,\; 0)$을 지난다.
• $x=ex\; =\; e$일 때, $y=\ln e^3=3y\; =\; \backslash ln\{e^\{3\}\}\; =\; 3$이므로 $(e,3)(e,\; 3)$을 지난다.

따라서 $y=\ln x^{3}y\; =\; \backslash ln\{x^\{3\}\}$의 그래프는 아래 그림과 같다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항