절댓값이 어떤 실수보다도 더 큰 상태이다.
어떤 양의 실수보다도 더 큰 상태이다. 양의 무한대는 기호로 +∞ 또는 ∞로 나타낸다.
어떤 음의 실수보다도 더 작은 상태이다. 음의 무한대는 기호로 −∞로 나타낸다.
변수 x가 a가 아니면서 a에 한없이(매우) 가까워질 때,
함수 f(x)가 일정한 값 k에 가까워진다면 k를 [x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값]이라 한다.
이는 기호로 x→alimf(x)=k로 나타낸다.
lim는 극한 기호이며, 아래에 변수가 어떤 값에 가까워지는지 나타낸다.
함수 f(x)=2x−4에 대하여 x→3limf(x)의 값을 구해보자.
x가 3에 한없이 가까워질 때 f(x)는 f(3)=2×3−4=6−4=2에 한없이 가까워지므로
x→3limf(x)=2이다.
변수 x가 어떤 값 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때, 함수 f(x)가 일정한 값 k에 가까워진다면, f(x)는 k에 수렴한다고 한다.
이는 기호로 x→alimf(x)=k로 나타낸다.
- 예시 1: 함수 f(x)=x1에 대하여 x→∞limf(x)의 값을 구해보자.
x가 ∞에 한없이 가까워질 때 f(x)는 0에 가깝게 한없이 작아지므로
x→∞limf(x)=0이고, f(x)는 0에 수렴한다.
- 예시 2: 함수 f(x)=x+2x에 대하여 x→∞limf(x)의 값을 구해보자.
f(x)=x+2x=xx+2xx=1+x21이다.
이때 x가 ∞에 한없이 가까워질 때 x2는 0에 가깝게 한없이 작아지므로
x→∞limx2=0이다.
그러므로 x→∞limf(x)=x→∞lim1+x21=1+01=11=1이고, f(x)는 1에 수렴한다.
함수 f(x)가 수렴하지 않고 진동하거나, x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때,
f(x)가 한없이 커지거나 작아진다면(양이나 음의 무한대로 가는 경우) f(x)는 발산한다고 한다.
-
x가 어떤 값 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 양의 무한대로 발산하는 경우:
x→alimf(x)=∞로 나타낸다.
-
x가 어떤 값 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 음의 무한대로 발산하는 경우:
x→alimf(x)=−∞로 나타낸다.
함수 f(x)=x2에 대하여 x→∞limf(x)의 값을 구해보자.
x가 ∞에 한없이 가까워질 때 f(x)는 양의 무한대에 한없이 가까워지므로
x→∞limf(x)=∞이고, f(x)는 발산한다.
정답: $3$
x가 3에 한없이 가까워질 때 f(x)는 f(3)=32−2=9−2=7에 한없이 가까워지므로
x→3limf(x)=7이다.
따라서 정답은 3번이다.
정답: $4$
f(x)=x−32x+1=xx−3x2x+1=1−x32+x1이다.
이때 x가 ∞에 한없이 가까워질 때 x1과 x3은 모두 0에 가깝게 한없이 작아지므로
x→∞limx1=x→∞limx3=0이다.
그러므로 x→∞limf(x)=x→∞lim1−x32+x1=1−02+0=12=2이고, f(x)는 2에 수렴한다.
따라서 정답은 4번이다.
