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입력값 범위에 따라 출력값 계산이 달라지는 함수 표기와, 입력값이 연속적으로 변할 때 출력값도 연속적으로 변하는 연속함수의 조건을 설명합니다.
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연속함수

¶ 지식 정보

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입력값 범위에 따라 출력값 계산이 달라지는 함수 표기와, 입력값이 연속적으로 변할 때 출력값도 연속적으로 변하는 연속함수의 조건을 설명합니다.
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¶ 범위에 따른 함수 표기

입력값 범위에 따라 출력값 계산이 달라지는 함수는 중괄호 ${$ 를 사용하여 나타낸다.

¶ 범위에 따른 함수 표기 예시

예시 $1$ :
함수 $f (x)$ 가 $x > 0$ 일 때 $f (x) = - x$ 이고, $x \le 0$ 일 때 $f(x) = x^{2}$ 이면 $f(x) = \begin{cases}-x & (x > 0)\\ x^{2} & (x \le 0)\end{cases}$ 와 같이 나타낸다.

$f (x)$ 의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.

예시 $2$ :
함수 $g (x)$ 가 $x \neq 0$ 일 때 $g(x) = x^{2}$ 이고, $x = 0$ 일 때 $g (x) = 1$ 이면 $g(x) = \begin{cases}x^{2} & (x \neq 0)\\ 1 & (x = 0)\end{cases}$ 와 같이 나타낸다.

$g (x)$ 의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.

한 입력값에 대한 출력값이 그래프상 주변과 이어져 있지 않고 떨어져 있는 경우, 해당 지점을 검은색 점으로 나타내고,
그래프상 주변과 이어져 있으나 함수의 그래프에 포함되지 않는 경우, 해당 지점을 흰색 점으로 나타낸다.

¶ 연속함수

입력값이 연속적으로 변할 때, 출력값이 연속적으로 변하는 함수이다.

연속함수는 아래 두 조건을 만족해야 한다.
$1.$ 입력값(변수)에 해당하는 출력값(함숫값)이 있다.
$2.$ 극한값 $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ 가 존재하고, $\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$ 이다.

¶ 연속함수 예시

함수 $f(x) = \begin{cases}x + k & (x \neq 0)\\ 1 & (x = 0)\end{cases}$ 에 대하여 $f (x)$ 가 $x = 0$ 에서 연속이 되도록 하는 실수 $k$ 의 값을 구해보자.

$y = x + k$ 는 $x = 0$ 일 때 $y = k$ 이므로 $y$ 절편은 $k$ 이고, 기울기가 $1$ 이므로 $x$ 가 $1$ 만큼 증가할 때 $y$ 도 $1$ 만큼 증가한다.
따라서 $f (x)$ 의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.

모든 입력값( $x$ 의 값)에 해당하는 출력값( $y$ 의 값)이 있으므로 $1$ 번 조건을 만족한다.
$2$ 번 조건을 만족하기 위해서는 $\lim\limits_{x \to 0}f(x) = f(0)$ 을 만족해야 한다.

$x$ 가 $0$ 으로 한없이 가까워질 때는 $x$ 가 정확히 $0$ 은 아니므로 $f (x) = x + k$ 일 때이다.
그러므로 $\lim\limits_{x \to 0}f(x) ={}$ $\lim\limits_{x \to 0}(x + k) ={}$ $0 + k =$ $k$ 이고,
$f (0)$ 은 $x$ 가 정확히 $0$ 일 때의 출력값이므로 $f (0) = 1$ 이다.

따라서 $\lim\limits_{x \to 0}f(x) = f(0)$ ,
$k = 1$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

¶ 2번 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기