함수 F(x)의 도함수가 f(x)일 때, F(x)를 f(x)의 부정적분이라 한다.
어떤 함수의 부정적분을 구하는 과정이다.
함수 F(x)의 도함수가 f(x)일 때, f(x)를 x에 대해 적분하여 F(x)를 구하는 과정을 식으로 나타내면
∫f(x)dx=F(x)+C이다. 여기서 상수 C를 적분상수라 한다.
y=c(c는 상수)이면 y′=0이므로 F(x)를 미분하여 f(x)를 구할 때 상수는 0이 되어 모두 사라진다.
따라서 반대로 f(x)를 x에 대해 적분하여 F(x)를 구할 때 기존에 어떤 상수가 있었는지 알 수 없으므로 적분상수 C를 붙인다.
적분상수는 보통 한 기호로 정리하여 나타낸다.
두 함수 f(x), g(x)가 연속함수일 때,
- ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이다. (k는 0이 아닌 상수이다.)
- ∫{f(x)+g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx이다.
- ∫{f(x)−g(x)}dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx이다.
n이 음이 아닌 정수일 때, ∫xndx=n+11xn+1+C이다.
함수 h(x)=4x3+6x2에 대하여 ∫h(x)dx를 구해보자.
f(x)=x3, g(x)=x2이라 하면 h(x)=4f(x)+6g(x)이다.
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이고,
∫{f(x)+g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx이므로
h(x)=4f(x)+6g(x)를 적분하면
∫h(x)dx=4∫f(x)dx+6∫g(x)dx⋯①이다.
∫xndx=n+11xn+1+C이므로
f(x)=x3을 적분하면 ∫f(x)dx=3+11x3+1+C1=41x4+C1이고,
g(x)=x2을 적분하면 ∫g(x)dx=2+11x2+1+C2=31x3+C2이다.
이를 ①에 넣으면
∫h(x)dx=4∫f(x)dx+6∫g(x)dx에서
∫h(x)dx=4×(41x4+C1)+6×(31x3+C2),
∫h(x)dx=x4+4C1+2x3+6C2,
∫h(x)dx=x4+2x3+4C1+6C2이다.
여기서 C=4C1+6C2라 하면,
∫h(x)dx=x4+2x3+4C1+6C2는
∫h(x)dx=x4+2x3+C이다.
어떤 구간에서 그래프와 축 사이의 넓이를 구하는 것이다.
이때 구간에서 함수의 값이 음(−)의 부호를 갖는 경우, 정적분 값은 음(−)의 부호를 갖고, 크기는 그래프와 축 사이의 넓이와 같다.
연속함수 f(x)의 x=a에서 x=b까지의 정적분은 ∫abf(x)dx로 나타내고,
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)로 계산한다.
직선 y=41x와 x=1, x=3 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.
연속함수 f(x)의 x=a에서 x=b까지의 정적분은 ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)이다.
따라서 y=41x와 x=1, x=3 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ∫1341xdx와 같다.
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이고,
∫xndx=n+11xn+1+C이므로
f(x)=41x라 할 때,
F(x)=∫41xdx=41∫xdx=41×1+11x1+1+C=41×21x2+C=81x2+C이다.
F(3)=81×32+C=89+C,
F(1)=81×12+C=81+C이므로
∫1341xdx=∫13f(x)dx=[F(x)]13=F(3)−F(1)에서
F(3)−F(1)=89+C−(81+C),
F(3)−F(1)=89+C−81−C,
F(3)−F(1)=89−81,
F(3)−F(1)=88=1이다.
그러므로 y=41x와 x=1, x=3 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다.
닫힌 경로를 따라 적분하는 것이다.
위의 정적분 예시에서 x 축을 따라 적분했듯이, 폐적분은 처음과 끝이 같은 닫힌 경로를 따라 적분하는 것이다.
폐적분은 기호로 ∮로 나타낸다.
정답: $2$
g(x)=x2, h(x)=1이라 하면 f(x)=3g(x)+h(x)이다.
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이고,
∫{f(x)+g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx이므로
f(x)=3g(x)+h(x)를 적분하면
∫f(x)dx=3∫g(x)dx+∫h(x)dx⋯①이다.
∫xndx=n+11xn+1+C이므로
g(x)=x2을 적분하면 ∫g(x)dx=2+11x2+1+C1=31x3+C1이고,
h(x)=1을 적분하면 ∫h(x)dx=0+11x0+1+C2=x+C2이다.
이를 ①에 넣으면
∫f(x)dx=3∫g(x)dx+∫h(x)dx에서
∫f(x)dx=3×(31x3+C1)+x+C2,
∫f(x)dx=x3+3C1+x+C2,
∫f(x)dx=x3+x+3C1+C2이다.
여기서 C=3C1+C2라 하면,
∫f(x)dx=x3+x+3C1+C2는
∫f(x)dx=x3+x+C이다.
F(x)=∫f(x)dx=x3+x+C에서
F(1)=4이므로
F(1)=13+1+C=4,
1+1+C=4,
2+C=4,
C=4−2,
C=2이다.
그러므로 F(x)=x3+x+2이고,
F(2)=23+2+2=8+2+2=12이다.
따라서 정답은 2번이다.
정답: $4$
연속함수 f(x)의 x=a에서 x=b까지의 정적분은 ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)이다.
따라서 y=71x2과 x=1, x=2 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ∫1271x2dx와 같다.
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이고,
∫xndx=n+11xn+1+C이므로
f(x)=71x2이라 할 때,
F(x)=∫71x2dx=71∫x2dx=71×2+11x2+1+C=71×31x3+C=211x3+C이다.
F(2)=211×23+C=218+C,
F(1)=211×13+C=211+C이므로
∫1271x2dx=∫12f(x)dx=[F(x)]12=F(2)−F(1)에서
F(2)−F(1)=218+C−(211+C),
F(2)−F(1)=218+C−211−C,
F(2)−F(1)=218−211,
F(2)−F(1)=217=31이다.
그러므로 y=71x2과 x=1, x=2 및 x 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 31이다.
따라서 정답은 4번이다.
