¶ 지식 정보

¶ 부정적분

함수 $F(x)F(x)$의 도함수가 $f(x)f(x)$일 때, $F(x)F(x)$를 $f(x)f(x)$의 부정적분이라 한다.

¶ 적분

어떤 함수의 부정적분을 구하는 과정이다.

함수 $F(x)F(x)$의 도함수가 $f(x)f(x)$일 때, $f(x)f(x)$를 $xx$에 대해 적분하여 $F(x)F(x)$를 구하는 과정을 식으로 나타내면
${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}\backslash displaystyle\backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; =\; F(x)\; +\; C$이다. 여기서 상수 $CC$를 적분상수라 한다.

¶ 부정적분 시 적분상수가 붙는 이유

$y=cy\; =\; c$($cc$는 상수)이면 $y^{\mathrm{\prime }}=0y\text{'}\; =\; 0$이므로 $F(x)F(x)$를 미분하여 $f(x)f(x)$를 구할 때 상수는 $00$이 되어 모두 사라진다.

따라서 반대로 $f(x)f(x)$를 $xx$에 대해 적분하여 $F(x)F(x)$를 구할 때 기존에 어떤 상수가 있었는지 알 수 없으므로 적분상수 $CC$를 붙인다.

적분상수는 보통 한 기호로 정리하여 나타낸다.

¶ 부정적분의 성질

두 함수 $f(x)f(x)$, $g(x)g(x)$가 연속함수일 때,

• ${\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\; kf(x)\backslash ,dx\; =\; k\backslash int\; f(x)\backslash ,dx$이다. ($kk$는 $00$이 아닌 상수이다.)
• ${\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\backslash \{f(x)\; +\; g(x)\backslash \}\backslash ,dx\; =\; \backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; g(x)\backslash ,dx$이다.
• ${\displaystyle \int \{f(x)-g(x)\}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\backslash \{f(x)\; -\; g(x)\backslash \}\backslash ,dx\; =\; \backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; -\; \backslash int\; g(x)\backslash ,dx$이다.

¶ 다항함수의 적분법

$nn$이 음이 아닌 정수일 때, ${\displaystyle \int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C}\backslash displaystyle\backslash int\; x^\{n\}\backslash ,dx\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{n\; +\; 1\}x^\{n+1\}\; +\; C$이다.

¶ 적분 예시

함수 $h(x)=4x^3+6x^{2}h(x)\; =\; 4x^\{3\}\; +\; 6x^\{2\}$에 대하여 ${\displaystyle \int h(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx$를 구해보자.

$f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^\{3\}$, $g(x)=x^{2}g(x)\; =\; x^\{2\}$이라 하면 $h(x)=4f(x)+6g(x)h(x)\; =\; 4f(x)\; +\; 6g(x)$이다.

${\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\; kf(x)\backslash ,dx\; =\; k\backslash int\; f(x)\backslash ,dx$이고,
${\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\backslash \{f(x)\; +\; g(x)\backslash \}\backslash ,dx\; =\; \backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; g(x)\backslash ,dx$이므로
$h(x)=4f(x)+6g(x)h(x)\; =\; 4f(x)\; +\; 6g(x)$를 적분하면
${\displaystyle \int h(x)dx=4\int f(x)dx+6\int g(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; 4\backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; +\; 6\backslash int\; g(x)\backslash ,dx$⋯①이다.

${\displaystyle \int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C}\backslash displaystyle\backslash int\; x^\{n\}\backslash ,dx\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{n\; +\; 1\}x^\{n+1\}\; +\; C$이므로
$f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^\{3\}$을 적분하면 ${\displaystyle \int f(x)dx=\frac{1}{3+1}{x}^{3+1}+C_1=\frac{1}{4}{x}^4+C_1}\backslash displaystyle\backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{3\; +\; 1\}x^\{3+1\}\; +\; C\_\{1\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}x^\{4\}\; +\; C\_\{1\}$이고,
$g(x)=x^{2}g(x)\; =\; x^\{2\}$을 적분하면 ${\displaystyle \int g(x)dx=\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+C_2=\frac{1}{3}{x}^3+C_2}\backslash displaystyle\backslash int\; g(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\; +\; 1\}x^\{2+1\}\; +\; C\_\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}x^\{3\}\; +\; C\_\{2\}$이다.

이를 ①에 넣으면
${\displaystyle \int h(x)dx=4\int f(x)dx+6\int g(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; 4\backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; +\; 6\backslash int\; g(x)\backslash ,dx$에서
${\displaystyle \int h(x)dx=4\times (\frac{1}{4}{x}^4+C_1)+6\times (\frac{1}{3}{x}^3+C_2)}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; 4\; \backslash times\; \backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{4\}x^\{4\}\; +\; C\_\{1\}\backslash right)\; +\; 6\; \backslash times\; \backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{3\}x^\{3\}\; +\; C\_\{2\}\backslash right)$,
${\displaystyle \int h(x)dx=x^4+4C_1+2x^3+6C_2}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; x^\{4\}\; +\; 4C\_\{1\}\; +\; 2x^\{3\}\; +\; 6C\_\{2\}$,
${\displaystyle \int h(x)dx=x^4+2x^3+4C_1+6C_2}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; x^\{4\}\; +\; 2x^\{3\}\; +\; 4C\_\{1\}\; +\; 6C\_\{2\}$이다.

여기서 $C=4C_1+6C_{2}C\; =\; 4C\_\{1\}\; +\; 6C\_\{2\}$라 하면,
${\displaystyle \int h(x)dx=x^4+2x^3+4C_1+6C_2}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; x^\{4\}\; +\; 2x^\{3\}\; +\; 4C\_\{1\}\; +\; 6C\_\{2\}$는
${\displaystyle \int h(x)dx=x^4+2x^3+C}\backslash displaystyle\backslash int\; h(x)\backslash ,dx\; =\; x^\{4\}\; +\; 2x^\{3\}\; +\; C$이다.

¶ 정적분

어떤 구간에서 그래프와 축 사이의 넓이를 구하는 것이다.
이때 구간에서 함수의 값이 음$(-)(-)$의 부호를 갖는 경우, 정적분 값은 음$(-)(-)$의 부호를 갖고, 크기는 그래프와 축 사이의 넓이와 같다.

연속함수 $f(x)f(x)$의 $x=ax\; =\; a$에서 $x=bx\; =\; b$까지의 정적분은 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\_\{a\}^\{b\}f(x)\backslash ,dx$로 나타내고,
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)}\backslash displaystyle\backslash int\_\{a\}^\{b\}f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash Big[F(x)\backslash Big]\_\{a\}^\{b\}\; =\; F(b)\; -\; F(a)$로 계산한다.

¶ 정적분 예시

직선 $y={\displaystyle \frac{1}{4}}xy\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}x$와 $x=1x\; =\; 1$, $x=3x\; =\; 3$ 및 $xx$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.

연속함수 $f(x)f(x)$의 $x=ax\; =\; a$에서 $x=bx\; =\; b$까지의 정적분은 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)}\backslash displaystyle\backslash int\_\{a\}^\{b\}f(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash Big[F(x)\backslash Big]\_\{a\}^\{b\}\; =\; F(b)\; -\; F(a)$이다.

따라서 $y={\displaystyle \frac{1}{4}}xy\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}x$와 $x=1x\; =\; 1$, $x=3x\; =\; 3$ 및 $xx$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ${\displaystyle {\int }_1^3\frac{1}{4}xdx}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{3\}\backslash dfrac\{1\}\{4\}x\backslash ,dx$와 같다.

${\displaystyle \int kf(x)dx=k\int f(x)dx}\backslash displaystyle\backslash int\; kf(x)\backslash ,dx\; =\; k\backslash int\; f(x)\backslash ,dx$이고,
${\displaystyle \int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C}\backslash displaystyle\backslash int\; x^\{n\}\backslash ,dx\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{n\; +\; 1\}x^\{n+1\}\; +\; C$이므로
$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}xf(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}x$라 할 때,
$F(x)=F(x)\; =\{\}$${\displaystyle \int \frac{1}{4}xdx=}\backslash displaystyle\backslash int\backslash dfrac\{1\}\{4\}x\backslash ,dx\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{4}\int xdx=}\backslash displaystyle\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash int\; x\backslash ,dx\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{1+1}}{x}^{1+1}+C=\backslash dfrac\{1\}\{4\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{1\; +\; 1\}x^\{1+1\}\; +\; C\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C=\backslash dfrac\{1\}\{4\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}x^\{2\}\; +\; C\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+C\backslash dfrac\{1\}\{8\}x^\{2\}\; +\; C$이다.

$F(3)={\displaystyle \frac{1}{8}}\times 3^2+C={\displaystyle \frac{9}{8}}+CF(3)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{8\}\; \backslash times\; 3^\{2\}\; +\; C\; =\; \backslash dfrac\{9\}\{8\}\; +\; C$,
$F(1)={\displaystyle \frac{1}{8}}\times 1^2+C={\displaystyle \frac{1}{8}}+CF(1)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{8\}\; \backslash times\; 1^\{2\}\; +\; C\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{8\}\; +\; C$이므로
${\displaystyle {\int }_1^3\frac{1}{4}xdx=}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{3\}\backslash dfrac\{1\}\{4\}x\backslash ,dx\; =\{\}$${\displaystyle {\int }_1^{3}f(x)dx=}\backslash displaystyle\backslash int\_\{1\}^\{3\}f(x)\backslash ,dx\; =\{\}$$[F(x){]}_1^3=\backslash Big[F(x)\backslash Big]\_\{1\}^\{3\}\; =\{\}$$F(3)-F(1)F(3)\; -\; F(1)$에서
$F(3)-F(1)={\displaystyle \frac{9}{8}}+C-({\displaystyle \frac{1}{8}}+C)F(3)\; -\; F(1)\; =\; \backslash dfrac\{9\}\{8\}\; +\; C\; -\; \backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{8\}\; +\; C\backslash right)$,
$F(3)-F(1)={\displaystyle \frac{9}{8}}+C-{\displaystyle \frac{1}{8}}-CF(3)\; -\; F(1)\; =\; \backslash dfrac\{9\}\{8\}\; +\; C\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{8\}\; -\; C$,
$F(3)-F(1)={\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}F(3)\; -\; F(1)\; =\; \backslash dfrac\{9\}\{8\}\; -\; \backslash dfrac\{1\}\{8\}$,
$F(3)-F(1)=F(3)\; -\; F(1)\; =\{\}$${\displaystyle \frac{8}{8}}=\backslash dfrac\{8\}\{8\}\; =\{\}$$11$이다.

그러므로 $y={\displaystyle \frac{1}{4}}xy\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}x$와 $x=1x\; =\; 1$, $x=3x\; =\; 3$ 및 $xx$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $11$이다.

¶ 폐적분

닫힌 경로를 따라 적분하는 것이다.

위의 정적분 예시에서 $xx$ 축을 따라 적분했듯이, 폐적분은 처음과 끝이 같은 닫힌 경로를 따라 적분하는 것이다.
폐적분은 기호로 ${\displaystyle \oint }\backslash displaystyle\backslash oint$로 나타낸다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항