¶ 지식 정보

¶ 접선

곡선 위의 한 점에 접하는 직선이다. 곡선과 접선이 접하는 점을 접점이라 한다.

¶ 평균변화율

함수 $y=f(x)y\; =\; f(x)$에서 $xx$가 $\mathrm{\Delta }x\backslash Delta\; x$만큼 변하는 동안 $yy$가 $\mathrm{\Delta }y\backslash Delta\; y$만큼 변할 때, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}$를 평균변화율이라 한다.

함수 $y=f(x)y\; =\; f(x)$에서 $xx$가 $aa$에서 $bb$로 변할 때,
$\mathrm{\Delta }x=b-a\backslash Delta\; x\; =\; b\; -\; a$,
$\mathrm{\Delta }y=f(b)-f(a)\backslash Delta\; y\; =\; f(b)\; -\; f(a)$이므로
$f(x)f(x)$의 평균변화율은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\; \backslash dfrac\{f(b)\; -\; f(a)\}\{b\; -\; a\}\; =\; \backslash dfrac\{f(a\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(a)\}\{\backslash Delta\; x\}$이다.

¶ 평균변화율 예시

함수 $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^\{2\}$에서 $xx$의 값이 $22$에서 $44$로 변할 때의 평균변화율의 값을 구해보자.

$f(x)f(x)$에서 $xx$가 $22$에서 $44$로 변할 때,
$\mathrm{\Delta }x=4-2=2\backslash Delta\; x\; =\; 4\; -\; 2\; =\; 2$,
$\mathrm{\Delta }y=f(4)-f(2)\backslash Delta\; y\; =\; f(4)\; -\; f(2)$이므로
${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{2}}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\; \backslash dfrac\{f(4)\; -\; f(2)\}\{2\}$이다.

이때 $f(4)=4^2=16f(4)\; =\; 4^\{2\}\; =\; 16$이고,
$f(2)=2^2=4f(2)\; =\; 2^\{2\}\; =\; 4$이므로
$f(x)f(x)$의 평균변화율은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{f(4)-f(2)}{2}}=\backslash dfrac\{f(4)\; -\; f(2)\}\{2\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{16-4}{2}}=\backslash dfrac\{16\; -\; 4\}\{2\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{12}{2}}=\backslash dfrac\{12\}\{2\}\; =\{\}$$66$이다.

¶ 미분계수

함수 $y=f(x)y\; =\; f(x)$에서 $xx$가 $aa$에서 $a+\mathrm{\Delta }xa\; +\; \backslash Delta\; x$로 변할 때, 평균변화율 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\; \backslash dfrac\{f(a\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(a)\}\{\backslash Delta\; x\}$에서 $\mathrm{\Delta }x\backslash Delta\; x$가 $00$에 한없이 가까워질 때의 값이다.
이 값이 존재할 경우 이를 $x=ax\; =\; a$에서의 미분계수라 하고, 기호로 $f^{\mathrm{\prime }}(a)f\text{'}(a)$로 나타낸다.

수식으로 정리하면 $f^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}f\text{'}(a)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{f(a\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(a)\}\{\backslash Delta\; x\}$이다.

$f^{\mathrm{\prime }}(a)f\text{'}(a)$는 아래 그림과 같이 점 $\mathrm{P}(a,f(a))\backslash mathrm\{P\}(a,\; f(a))$에서의 접선의 기울기와 같다.

$\mathrm{\Delta }x\backslash Delta\; x$가 $00$에 한없이 가까워질 때 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}$는 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}\backslash dfrac\{dy\}\{dx\}$로도 나타낼 수 있다.

¶ 미분계수 예시

함수 $f(x)=x^{2}f(x)\; =\; x^\{2\}$에 대하여 $f^{\mathrm{\prime }}(1)f\text{'}(1)$의 값을 구해보자.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}f\text{'}(1)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{f(1\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(1)\}\{\backslash Delta\; x\}$이다.

이때 $f(1+\mathrm{\Delta }x)=f(1\; +\; \backslash Delta\; x)\; =\{\}$$(1+\mathrm{\Delta }x{)}^2=(1\; +\; \backslash Delta\; x)^\{2\}\; =\{\}$$(1+\mathrm{\Delta }x)(1+\mathrm{\Delta }x)=(1\; +\; \backslash Delta\; x)(1\; +\; \backslash Delta\; x)\; =\{\}$$1+\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2=1\; +\; \backslash Delta\; x\; +\; \backslash Delta\; x\; +\; (\backslash Delta\; x)^\{2\}\; =\{\}$$(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2\mathrm{\Delta }x+1(\backslash Delta\; x)^\{2\}\; +\; 2\backslash Delta\; x\; +\; 1$이고,
$f(1)=1^2=1f(1)\; =\; 1^\{2\}\; =\; 1$이므로
$f^{\mathrm{\prime }}(1)=f\text{'}(1)\; =\{\}$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}}=\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{f(1\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(1)\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\{\}$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2\mathrm{\Delta }x+1-1}{\mathrm{\Delta }x}}=\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{(\backslash Delta\; x)^\{2\}\; +\; 2\backslash Delta\; x\; +\; 1\; -\; 1\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\{\}$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{(\backslash Delta\; x)^\{2\}\; +\; 2\backslash Delta\; x\}\{\backslash Delta\; x\}\; =\{\}$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}(\mathrm{\Delta }x+2)=\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}(\backslash Delta\; x\; +\; 2)\; =\{\}$$22$이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항