¶ 지식 정보

¶ 그래프

함수의 입력값과 출력값을 좌표 평면에 그려 나타낸 것이다. $xyxy$ 좌표(좌표 평면)에 나타낼 경우 입력값을 $xx$로, 출력값을 $yy$로 한다.

¶ 절편

그래프가 축과 만나는 점의 좌표이다.

$xx$ 절편은 $xx$ 축과 만나는 점의 $xx$ 좌표이고,
$yy$ 절편은 $yy$ 축과 만나는 점의 $yy$ 좌표이다.

¶ 절편 예시

그림과 같은 그래프가 있을 때, $xx$ 절편은 $33$, $yy$ 절편은 $22$이다.

¶ 일차함수의 그래프

직선 형태이다.

$y=ax+by\; =\; ax\; +\; b$ ($aa$는 양수 또는 음수)인 일차함수 식에서 $aa$는 기울기이며, 기울기는 $xx$가 $11$만큼 증가할 때 $yy$의 변화를 나타낸다.

¶ 일차함수의 그래프 예시

$y=2x+5y\; =\; 2x\; +\; 5$는 $y=ax+by\; =\; ax\; +\; b$에서 $a=2a\; =\; 2$이므로 기울기는 $22$이다.
따라서 $xx$가 $11$만큼 증가할 때 $yy$는 $22$만큼 증가한다.

¶ 일차함수의 그래프 그리기

일차함수의 $yy$ 절편을 구한 후, 기울기를 통해 직선을 그린다.

¶ 일차함수의 그래프 그리기 예시

$y=x+3y\; =\; x\; +\; 3$을 그려보자.

$y=x+3y\; =\; x\; +\; 3$은 $y=ax+by\; =\; ax\; +\; b$에서 $a=1a\; =\; 1$이므로 기울기는 $11$이다.

$x=0x\; =\; 0$일 때 $y=3y\; =\; 3$이므로 $yy$ 절편은 $33$이고, 기울기가 $11$이므로 $xx$가 $11$만큼 증가할 때 $yy$도 $11$만큼 증가한다.
따라서 $y=x+3y\; =\; x\; +\; 3$을 그리면 아래 그림과 같다.

¶ 이차함수의 그래프

$\cup \backslash cup$나 $\cap \backslash cap$와 같이 한쪽이 볼록한 형태이다.

$y=a(x-p{)}^2+qy\; =\; a(x\; -\; p)^\{2\}\; +\; q$ ($aa$는 양수 또는 음수)인 이차함수 식에서
$a>0a\; >\; 0$인 경우 $\cup \backslash cup$와 같이 아래로 볼록한 그래프 개형(대략적인 모양)을 갖고,
인 경우 $\cap \backslash cap$와 같이 위로 볼록한 그래프 개형을 갖는다.

¶ 이차함수의 꼭짓점

가장 꼭대기나 바닥에 있는 한 점이다.

$y=a(x-p{)}^2+qy\; =\; a(x\; -\; p)^\{2\}\; +\; q$인 이차함수 식에서 꼭짓점의 좌표는 $(p,q)(p,\; q)$이다.

¶ 이차함수의 꼭짓점 예시

$y=2(x-1{)}^2+5y\; =\; 2(x\; -\; 1)^\{2\}\; +\; 5$인 이차함수 식에서 꼭짓점의 좌표를 구해보자.

$y=a(x-p{)}^2+qy\; =\; a(x\; -\; p)^\{2\}\; +\; q$에서 $p=1p\; =\; 1$, $q=5q\; =\; 5$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(1,5)(1,\; 5)$이다.

¶ 이차함수가 전개된 경우 꼭짓점 구하기

이차함수가 전개된 경우 $a(x-p{)}^2+qa(x\; -\; p)^\{2\}\; +\; q$의 형태로 만들어 꼭짓점을 구한다.

예를 들어 $y=2x^2-4x+7y\; =\; 2x^\{2\}\; -\; 4x\; +\; 7$은
$y=2(x^2-2x)+7y\; =\; 2(x^\{2\}\; -\; 2x)\; +\; 7$,
$y=2(x^2-2x+1-1)+7y\; =\; 2(x^\{2\}\; -\; 2x\; +\; 1\; -\; 1)\; +\; 7$,
$y=2(x^2-2x+1)-2+7y\; =\; 2(x^\{2\}\; -\; 2x\; +\; 1)\; -\; 2\; +\; 7$,
$y=2(x-1{)}^2-2+7y\; =\; 2(x\; -\; 1)^\{2\}\; -\; 2\; +\; 7$,
$y=2(x-1{)}^2+5y\; =\; 2(x\; -\; 1)^\{2\}\; +\; 5$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(1,5)(1,\; 5)$이다.

$(x-1{)}^2=(x\; -\; 1)^\{2\}\; =\{\}$$(x-1)(x-1)=(x\; -\; 1)(x\; -\; 1)\; =\{\}$$x(x-1)+(-1)(x-1)=x(x\; -\; 1)\; +\; (-1)(x\; -\; 1)\; =\{\}$$x^2-x-x+1=x^\{2\}\; -\; x\; -\; x\; +\; 1\; =\{\}$$x^2-2x+1x^\{2\}\; -\; 2x\; +\; 1$

¶ 이차함수의 그래프 그리기

$y=a(x-p{)}^2+qy\; =\; a(x\; -\; p)^\{2\}\; +\; q$인 이차함수 식에서

• $a>0a\; >\; 0$인 경우:
  꼭짓점이 가장 아래쪽에 위치하도록 아래로 볼록한 그래프를 그린다.

• 인 경우:
  꼭짓점이 가장 위쪽에 위치하도록 위로 볼록한 그래프를 그린다.

¶ 이차함수의 그래프 그리기 예시

$y=2(x-1{)}^2+5y\; =\; 2(x\; -\; 1)^\{2\}\; +\; 5$를 그려보자.

$y=a(x-p{)}^2+qy\; =\; a(x\; -\; p)^\{2\}\; +\; q$에서 $a=2a\; =\; 2$, $p=1p\; =\; 1$, $q=5q\; =\; 5$이다.
$a>0a\; >\; 0$이므로 그래프는 아래로 볼록하며, $p=1p\; =\; 1$, $q=5q\; =\; 5$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(1,5)(1,\; 5)$이다.

따라서 꼭짓점이 가장 아래쪽에 위치하도록 아래로 볼록한 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.

¶ 시뮬레이션

¶ 일차함수의 그래프 시뮬레이션

¶ 이차함수의 그래프 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항