벡터의 내적과 외적

지식 정보

해당 지식
벡터의 내적과 외적을 나타내는 아이콘

벡터가 이루는 각과 내적의 스칼라, 외적의 크기와 수직인 방향, 오른손으로 구하는 외적 방향 및 벡터 순서를 설명합니다.
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벡터 A와 x·y 성분 벡터를 나타낸 아이콘 중심 양전하에서 바깥쪽으로 향하는 전기장과 가우스 법칙 텍스트 받침점을 중심으로 막대에 작용하는 돌림힘(토크) 아이콘 앙페르 법칙을 나타내는 전류와 원형 자기장 선 아이콘

벡터의 내적

벡터 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}의 내적은 a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}로 나타내고,
a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}가 이루는 각이 θ\theta일 때, a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}의 값은 ∣a→∣∣b→∣cos⁡θ|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta인 스칼라이다.

벡터의 내적 예시

그림과 같이 벡터 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}가 있다.
a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}의 크기가 각각 22, 33일 때, a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}를 구해보자.

좌표평면에서 60°를 이루는 두 벡터 a와 b

∣a→∣=2|\overrightarrow{a}| = 2, ∣b→∣=3|\overrightarrow{b}| = 3이고 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}가 이루는 각이 60∘60^{\circ}이므로
a→⋅b→=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} ={}∣a→∣∣b→∣cos⁡60∘=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{60^{\circ}} ={}2×3×12=2 \times 3 \times \dfrac{1}{2} ={}6×12=6 \times \dfrac{1}{2} ={}33이다.

벡터의 외적

벡터 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}의 외적은 a→×b→\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}로 나타내고,
a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}가 이루는 각이 θ\theta일 때, a→×b→\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}의 값은 크기가 ∣a→∣∣b→∣sin⁡θ|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta이고 방향이 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}에 수직인 벡터이다.

벡터의 외적 방향 구하기

1.1. 오른손으로 엄지척 모양을 만든다.

엄지를 세운 오른손 모양 일러스트

2.2. 첫 번째 벡터에서 두 번째 벡터 방향으로 엄지를 제외한 손가락을 휘감는다.

두 벡터와 위쪽을 가리키는 검은색 휘감는 방향을 나타낸 그림

3.3. 엄지가 향하는 방향이 두 벡터의 외적 값의 방향이다.

두 벡터의 외적 방향을 나타낸 오른손과 세 방향 화살표

a→×b→\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}에서 첫 번째 벡터는 a→\overrightarrow{a}, 두 번째 벡터는 b→\overrightarrow{b}이고,
b→×a→\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}에서 첫 번째 벡터는 b→\overrightarrow{b}, 두 번째 벡터는 a→\overrightarrow{a}이다.
벡터의 순서에 따라 외적 값의 방향이 달라짐에 주의한다.

벡터의 외적 예시

그림과 같이 좌표 공간에 벡터 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}가 있다. a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}는 각각 xx 축과 yy 축에 나란하다.
a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}의 크기가 각각 22, 33일 때, b→×a→\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}를 구해보자.

원점 O에서 서로 다른 방향으로 뻗은 x, y, z축과 벡터 a, b를 나타낸 3차원 좌표 그림

크기 구하기:
∣a→∣=2|\overrightarrow{a}| = 2, ∣b→∣=3|\overrightarrow{b}| = 3이고 a→\overrightarrow{a}와 b→\overrightarrow{b}가 이루는 각이 90∘90^{\circ}이므로
∣b→×a→∣=|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}| ={}∣b→∣∣a→∣sin⁡90∘=|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|\sin{90^{\circ}} ={}3×2×1=3 \times 2 \times 1 ={}6×1=6 \times 1 ={}66이다.

방향 구하기:
1.1. 오른손으로 엄지척 모양을 만든다.

벡터 외적의 오른손 법칙을 나타내는 손 모양 일러스트

2.2. b→\overrightarrow{b}(첫 번째 벡터)에서 a→\overrightarrow{a}(두 번째 벡터) 방향으로 엄지를 제외한 손가락을 휘감는다.

오른손 주위에 두 벡터와 휘감는 방향을 나타낸 그림

3.3. −z-z 축 방향(엄지가 향하는 방향)이 두 벡터의 외적 값의 방향이다.

벡터 a와 b의 외적 방향을 손과 3차원 좌표축으로 나타낸 그림

따라서 b→×a→\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}는 −z-z 축 방향이고, 크기가 66인 벡터이다.

시뮬레이션


적용 문항

1번 문항


좌표 평면에서 30°를 이루는 두 벡터의 내적 계산 문제

2번 문항


3차원 좌표 공간에서 두 벡터의 외적 크기와 방향을 묻는 문항