¶ 지식 정보

¶ 로그

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$(단, $a>0a\; >\; 0$, $a\mathrm{\ne }1a\; \backslash neq\; 1$이다.)에서 지수 $xx$를 앞에 두어 $x=\cdots x\; =\; \backslash cdots$꼴로 표현하고 싶을 때, $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$으로 나타내는 방법이다.

여기서 $aa$는 밑, $NN$은 진수라 하며, $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\backslash mathrm\{log\}$는 '로그'로 읽는다.

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$과 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$은 본질적으로는 서로 같은 의미로, 무엇을 앞에 두어 강조하고 싶은지에 따라 쓰임이 다르다.
로그를 지수로도 바꿀 수 있으므로 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$은 $a^x=Na^\{x\}\; =\; N$으로 나타낼 수 있다.

¶ 로그의 밑과 진수 조건

• 밑 조건:
  $00$보다 크고, $11$이 아니어야 한다.
• 진수 조건:
  $00$보다 커야 한다.

¶ 로그 예시

$2^x=32^\{x\}\; =\; 3$을 로그로 나타내보자.

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$(단, $a>0a\; >\; 0$, $a\mathrm{\ne }1a\; \backslash neq\; 1$이다.)은 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$으로 나타낼 수 있다.
$2^x=32^\{x\}\; =\; 3$은 $a=2a\; =\; 2$, $N=3N\; =\; 3$인 경우이므로 $2^x=32^\{x\}\; =\; 3$을 로그로 나타내면 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}3x\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}$이다.

¶ 로그의 성질

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$을 로그로 나타내면 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$이고, 반대로 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$을 지수로 나타내면 $a^x=Na^\{x\}\; =\; N$이다.
따라서 밑과 진수 조건을 만족할 때 로그는 아래와 같은 성질을 갖는다.

• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}1=0\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{1\}\; =\; 0$이다.

$a^0=1a^\{0\}\; =\; 1$이므로 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}1=0\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{1\}\; =\; 0$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x=x\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x\}\}\; =\; x$이다.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x=x\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x\}\}\; =\; x$를 지수로 바꾸면 $a^x=a^{x}a^\{x\}\; =\; a^\{x\}$이므로 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x=x\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x\}\}\; =\; x$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$이다.

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$, $a^y=Ma^\{y\}\; =\; M$이라 할 때, $NM=a^x{a}^y=a^{x+y}NM\; =\; a^\{x\}a^\{y\}\; =\; a^\{x+y\}$이다.
$NM=a^{x+y}NM\; =\; a^\{x+y\}$의 양변에 밑이 $aa$인 로그를 취하면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^{x+y}\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x+y\}\}$,
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM=x+y\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; x\; +\; y$⋯①이다.

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$에서 양변에 밑이 $aa$인 로그를 취하면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x\}\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$,
$x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$이다.

마찬가지로 $a^y=Ma^\{y\}\; =\; M$에서 양변에 밑이 $aa$인 로그를 취하면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{y\}\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$,
$y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}My\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$이다.

$x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$, $y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}My\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$을 ①에 넣으면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM=x+y\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; x\; +\; y$에서
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N-{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{\backslash dfrac\{N\}\{M\}\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; -\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$이다.

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$, $a^y=Ma^\{y\}\; =\; M$이라 할 때, ${\displaystyle \frac{N}{M}}={\displaystyle \frac{a^x}{a^y}}=a^{x-y}\backslash dfrac\{N\}\{M\}\; =\; \backslash dfrac\{a^\{x\}\}\{a^\{y\}\}\; =\; a^\{x-y\}$이므로
${\displaystyle \frac{N}{M}}=a^{x-y}\backslash dfrac\{N\}\{M\}\; =\; a^\{x-y\}$의 양변에 밑이 $aa$인 로그를 취하면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^{x-y}\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\backslash dfrac\{N\}\{M\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x-y\}\}$,
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}=x-y\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\backslash dfrac\{N\}\{M\}\; =\; x\; -\; y$이다.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}=x-y\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\backslash dfrac\{N\}\{M\}\; =\; x\; -\; y$에 위에서 구한 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$, $y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}My\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$을 넣으면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N-{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\backslash dfrac\{N\}\{M\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; -\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$이다.

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• $kk$가 실수일 때, ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^k=k{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}\; =\; k\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$이다.

$a^x=Na^\{x\}\; =\; N$의 양변을 $kk$제곱하면 $(a^x{)}^k=N^k(a^\{x\})^\{k\}\; =\; N^\{k\}$,
$a^{xk}=N^{k}a^\{xk\}\; =\; N^\{k\}$이다.

$a^{xk}=N^{k}a^\{xk\}\; =\; N^\{k\}$의 양변에 밑이 $aa$인 로그를 취하면
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^{xk}={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^k\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{xk\}\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}$,
$xk={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^{k}xk\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}$이다.

$xk={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^{k}xk\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}$에 위에서 구한 $x={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}Nx\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$을 넣으면
$({\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N)k={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^k(\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\})k\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}$,
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^k=k{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}\; =\; k\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$이다.

¶ 로그의 성질 예시

• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}1=0\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{1\}\; =\; 0$ 활용 예시:
  ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}1\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{1\}$의 값을 구해보자.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}1\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{1\}$은 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}1=0\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{1\}\; =\; 0$에서 $a=5a\; =\; 5$인 경우이므로
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}1=0\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{1\}\; =\; 0$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x=x\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x\}\}\; =\; x$ 활용 예시:
  ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}8\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{8\}$의 값을 구해보자.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}8={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{2}^3\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{8\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2^\{3\}\}$이며,
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{2}^3\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2^\{3\}\}$은 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x=x\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{a^\{x\}\}\; =\; x$에서 $a=2a\; =\; 2$, $x=3x\; =\; 3$인 경우이므로
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{2}^3=3\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2^\{3\}\}\; =\; 3$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$ 활용 예시:
  ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}6\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{6\}$을 진수가 $66$이 아닌 값으로 나타내보자.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}6={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2(2\times 3)\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{6\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{(2\; \backslash times\; 3)\}$이며,
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2(2\times 3)\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{(2\; \backslash times\; 3)\}$은 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}NM={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{NM\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$에서 $a=2a\; =\; 2$, $N=2N\; =\; 2$, $M=3M\; =\; 3$인 경우이므로
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2(2\times 3)=\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{(2\; \backslash times\; 3)\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}2+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}3=\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2\}\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{2}^1+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}3=\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2^\{1\}\}\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}\; =\{\}$$1+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}31\; +\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N-{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{\backslash dfrac\{N\}\{M\}\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; -\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$ 활용 예시:
  ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{\displaystyle \frac{3}{2}}\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{\backslash dfrac\{3\}\{2\}\}$을 진수가 ${\displaystyle \frac{3}{2}}\backslash dfrac\{3\}\{2\}$이 아닌 값으로 나타내보자.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{\displaystyle \frac{3}{2}}\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{\backslash dfrac\{3\}\{2\}\}$은 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\displaystyle \frac{N}{M}}={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N-{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}M\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{\backslash dfrac\{N\}\{M\}\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}\; -\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{M\}$에서 $a=2a\; =\; 2$, $N=3N\; =\; 3$, $M=2M\; =\; 2$인 경우이므로
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{\displaystyle \frac{3}{2}}=\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{\backslash dfrac\{3\}\{2\}\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}3-{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}2=\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}\; -\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}3-{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{2}^1=\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}\; -\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{2^\{1\}\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}3-1\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{3\}\; -\; 1$이다.

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• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^k=k{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}\; =\; k\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$ 활용 예시:
  ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}9\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{9\}$를 진수가 $99$가 아닌 값으로 나타내보자.

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}9={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_5{3}^2\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{9\}\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{3^\{2\}\}$이며,
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_5{3}^2\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{3^\{2\}\}$은 ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{N}^k=k{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}N\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N^\{k\}\}\; =\; k\backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{N\}$에서 $a=5a\; =\; 5$, $N=3N\; =\; 3$, $k=2k\; =\; 2$인 경우이므로
${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_5{3}^2=2{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}3\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{3^\{2\}\}\; =\; 2\backslash mathrm\{log\}\_\{5\}\{3\}$이다.

¶ 상용로그

밑이 $1010$인 로그이다.

상용로그의 밑은 생략할 수 있으므로 로그의 밑이 나타나 있지 않은 경우 밑은 $1010$이라 생각한다.

¶ 상용로그 예시

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}1000\backslash mathrm\{log\}\{1000\}$의 값을 구해보자.

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}1000\backslash mathrm\{log\}\{1000\}$은 로그의 밑이 나타나 있지 않으므로 밑은 $1010$이라 생각한다.
따라서 $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}1000=\backslash mathrm\{log\}\{1000\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{10}1000=\backslash mathrm\{log\}\_\{10\}\{1000\}\; =\{\}$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{10}10^3=\backslash mathrm\{log\}\_\{10\}\{10^\{3\}\}\; =\{\}$$33$이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항