¶ 지식 정보

¶ 미분가능

함수 $f(x)f(x)$에 대하여 $x=ax\; =\; a$에서 미분계수 $f^{\mathrm{\prime }}(a)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}}f\text{'}(a)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{f(a\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(a)\}\{\backslash Delta\; x\}$가 존재할 때, $f(x)f(x)$는 $x=ax\; =\; a$에서 미분가능하다고 한다.

¶ 도함수

$y=f(x)y\; =\; f(x)$가 모든 $xx$의 값에서 미분가능할 때, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}f\text{'}(x)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{f(x\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(x)\}\{\backslash Delta\; x\}$를 $y=f(x)y\; =\; f(x)$의 도함수라 한다.

¶ 미분

어떤 함수의 도함수를 구하는 과정이다.

¶ 미분의 표기

미분한 함수는 기호 다음에 미분한 횟수만큼 ${}^{\mathrm{\prime }}\text{'}$을 추가하여 나타낸다.

¶ 미분의 표기 예시

• $y=f(x)y\; =\; f(x)$를 한 번 미분한 경우 $y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; f\text{'}(x)$로 나타낸다.
• $y=g(x)y\; =\; g(x)$를 두 번 미분한 경우 $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\text{'}\; =\; g\text{'}\text{'}(x)$로 나타낸다.
• $y=h(x)y\; =\; h(x)$를 세 번 미분한 경우 $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\text{'}\text{'}\; =\; h\text{'}\text{'}\text{'}(x)$로 나타낸다.

$\dot{y}\backslash dot\{y\}$나 $\ddot{y}\backslash ddot\{y\}$와 같이 ${}^{\mathrm{\prime }}\text{'}$ 대신 기호 위에 점을 찍어 나타내기도 한다.

¶ 미분법

미분할 때 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\backslash dfrac\{f(x\; +\; \backslash Delta\; x)\; -\; f(x)\}\{\backslash Delta\; x\}$를 매번 계산하기 복잡하므로 자주 쓰이는 패턴을 공식으로 만든 것이다.
$cc$는 상수, $nn$은 $00$이 아닌 실수, $f(x)f(x)$는 미분가능한 함수, $aa$는 $a>0a\; >\; 0$, $a\mathrm{\ne }1a\; \backslash neq\; 1$인 실수라 할 때, 아래를 만족한다.

• $y=cy\; =\; c$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=0y\text{'}\; =\; 0$이다.
• $y=x^{n}y\; =\; x^\{n\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}y\text{'}\; =\; nx^\{n-1\}$이다.
• $y=cf(x)y\; =\; cf(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; cf\text{'}(x)$이다.
• $y=\ln xy\; =\; \backslash ln\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}y\text{'}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$이다.
• $y=a^{x}y\; =\; a^\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=a^x\ln ay\text{'}\; =\; a^\{x\}\backslash ln\{a\}$이다.
• $y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}xy\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}y\text{'}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\backslash ln\{a\}\}$이다.

¶ 미분법 예시

• $y=cy\; =\; c$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=0y\text{'}\; =\; 0$ 활용 예시:
  함수 $f(x)=6f(x)\; =\; 6$에 대하여 $f^{\mathrm{\prime }}(5)f\text{'}(5)$의 값을 구해보자.

$66$은 값이 정해져 변하지 않는 상수이므로 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)\; =\; 0$이다.
그러므로 $xx$의 값에 상관없이 $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$의 값은 항상 $00$이므로 $f^{\mathrm{\prime }}(5)=0f\text{'}(5)\; =\; 0$이다.

---

• $y=x^{n}y\; =\; x^\{n\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}y\text{'}\; =\; nx^\{n-1\}$ 활용 예시:
  함수 $g(x)=2x^{3}g(x)\; =\; 2x^\{3\}$에 대하여 $g^{\mathrm{\prime }}(2)g\text{'}(2)$의 값을 구해보자.

$f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^\{3\}$이라 하면 $g(x)=2f(x)g(x)\; =\; 2f(x)$이다.

$y=cf(x)y\; =\; cf(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; cf\text{'}(x)$이므로
$g(x)=2f(x)g(x)\; =\; 2f(x)$를 미분하면
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2f^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)\; =\; 2f\text{'}(x)$⋯①이다.

$y=x^{n}y\; =\; x^\{n\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}y\text{'}\; =\; nx^\{n-1\}$이므로
$f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^\{3\}$을 미분하면 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^{3-1}=3x^{2}f\text{'}(x)\; =\; 3x^\{3-1\}\; =\; 3x^\{2\}$이다.

이를 ①에 넣으면
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2f^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)\; =\; 2f\text{'}(x)$에서
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=2\times 3x^2=6x^{2}g\text{'}(x)\; =\; 2\; \backslash times\; 3x^\{2\}\; =\; 6x^\{2\}$이다.

그러므로 $g^{\mathrm{\prime }}(2)=g\text{'}(2)\; =\{\}$$6\times 2^2=6\; \backslash times\; 2^\{2\}\; =\{\}$$6\times 4=6\; \backslash times\; 4\; =\{\}$$2424$이다.

---

• $y=\ln xy\; =\; \backslash ln\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}y\text{'}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$ 활용 예시:
  함수 $g(x)=6\ln xg(x)\; =\; 6\backslash ln\{x\}$에 대하여 $g^{\mathrm{\prime }}(2)g\text{'}(2)$의 값을 구해보자.

$f(x)=\ln xf(x)\; =\; \backslash ln\{x\}$라 하면 $g(x)=6f(x)g(x)\; =\; 6f(x)$이다.

$y=cf(x)y\; =\; cf(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; cf\text{'}(x)$이므로
$g(x)=6f(x)g(x)\; =\; 6f(x)$를 미분하면
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=6f^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)\; =\; 6f\text{'}(x)$⋯①이다.

$y=\ln xy\; =\; \backslash ln\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x}}y\text{'}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$이므로
$f(x)=\ln xf(x)\; =\; \backslash ln\{x\}$를 미분하면 $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}f\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}$이다.

이를 ①에 넣으면
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=6f^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)\; =\; 6f\text{'}(x)$에서
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=6\times {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{6}{x}}g\text{'}(x)\; =\; 6\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{x\}\; =\; \backslash dfrac\{6\}\{x\}$이다.

그러므로 $g^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{6}{2}}=3g\text{'}(2)\; =\; \backslash dfrac\{6\}\{2\}\; =\; 3$이다.

---

• $y=a^{x}y\; =\; a^\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=a^x\ln ay\text{'}\; =\; a^\{x\}\backslash ln\{a\}$ 활용 예시:
  함수 $g(x)={\displaystyle \frac{2^x}{\ln 2}}g(x)\; =\; \backslash dfrac\{2^\{x\}\}\{\backslash ln\{2\}\}$에 대하여 $g^{\mathrm{\prime }}(3)g\text{'}(3)$의 값을 구해보자.

$f(x)=2^{x}f(x)\; =\; 2^\{x\}$이라 하면 $g(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}f(x)g(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash ln\{2\}\}f(x)$이다.

$y=cf(x)y\; =\; cf(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; cf\text{'}(x)$이므로
$g(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}f(x)g(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash ln\{2\}\}f(x)$를 미분하면
$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash ln\{2\}\}f\text{'}(x)$⋯①이다.

$y=a^{x}y\; =\; a^\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=a^x\ln ay\text{'}\; =\; a^\{x\}\backslash ln\{a\}$이므로
$f(x)=2^{x}f(x)\; =\; 2^\{x\}$을 미분하면 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2^x\ln 2f\text{'}(x)\; =\; 2^\{x\}\backslash ln\{2\}$이다.

이를 ①에 넣으면
$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)g\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash ln\{2\}\}f\text{'}(x)$에서
$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}\times 2^x\ln 2=2^{x}g\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash ln\{2\}\}\; \backslash times\; 2^\{x\}\backslash ln\{2\}\; =\; 2^\{x\}$이다.

그러므로 $g^{\mathrm{\prime }}(3)=2^3=8g\text{'}(3)\; =\; 2^\{3\}\; =\; 8$이다.

---

• $y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}xy\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}y\text{'}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\backslash ln\{a\}\}$ 활용 예시:
  함수 $h(x)=3{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}xh(x)\; =\; 3\backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{x\}$에 대하여 $h^{\mathrm{\prime }}(3)h\text{'}(3)$의 값을 구해보자.

$f(x)={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}xf(x)\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{x\}$라 하면 $h(x)=3f(x)h(x)\; =\; 3f(x)$이다.

$y=cf(x)y\; =\; cf(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; cf\text{'}(x)$이므로
$h(x)=3f(x)h(x)\; =\; 3f(x)$를 미분하면
$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3f^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)\; =\; 3f\text{'}(x)$⋯①이다.

$y={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}xy\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{a\}\{x\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}y\text{'}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\backslash ln\{a\}\}$이므로
$f(x)={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2}xf(x)\; =\; \backslash mathrm\{log\}\_\{2\}\{x\}$를 미분하면 $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x\ln 2}}f\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x\backslash ln\{2\}\}$이다.

이를 ①에 넣으면
$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3f^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)\; =\; 3f\text{'}(x)$에서
$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3\times {\displaystyle \frac{1}{x\ln 2}}={\displaystyle \frac{3}{x\ln 2}}h\text{'}(x)\; =\; 3\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{x\backslash ln\{2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{x\backslash ln\{2\}\}$이다.

그러므로 $h^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{3}{3\ln 2}}={\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}h\text{'}(3)\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{3\backslash ln\{2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{\backslash ln\{2\}\}$이다.

¶ 미분법의 성질

두 함수 $f(x)f(x)$, $g(x)g(x)$가 미분가능할 때,

• $y=f(x)+g(x)y\; =\; f(x)\; +\; g(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; +\; g\text{'}(x)$이다.
• $y=f(x)-g(x)y\; =\; f(x)\; -\; g(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)-g^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; -\; g\text{'}(x)$이다.

¶ 미분법의 성질 예시

함수 $h(x)=2x^3+3x^{2}h(x)\; =\; 2x^\{3\}\; +\; 3x^\{2\}$에 대하여 $h^{\mathrm{\prime }}(1)h\text{'}(1)$의 값을 구해보자.

$f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^\{3\}$, $g(x)=x^{2}g(x)\; =\; x^\{2\}$이라 하면 $h(x)=2f(x)+3g(x)h(x)\; =\; 2f(x)\; +\; 3g(x)$이다.

$y=cf(x)y\; =\; cf(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; cf\text{'}(x)$이고,
$y=f(x)+g(x)y\; =\; f(x)\; +\; g(x)$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}(x)+g^{\mathrm{\prime }}(x)y\text{'}\; =\; f\text{'}(x)\; +\; g\text{'}(x)$이다.

그러므로 $h(x)=2f(x)+3g(x)h(x)\; =\; 2f(x)\; +\; 3g(x)$를 미분하면 $h^{\mathrm{\prime }}(x)=2f^{\mathrm{\prime }}(x)+3g^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)\; =\; 2f\text{'}(x)\; +\; 3g\text{'}(x)$⋯①이다.

$y=x^{n}y\; =\; x^\{n\}$이면 $y^{\mathrm{\prime }}=n{x}^{n-1}y\text{'}\; =\; nx^\{n-1\}$이므로
$f(x)=x^{3}f(x)\; =\; x^\{3\}$을 미분하면 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^{3-1}=3x^{2}f\text{'}(x)\; =\; 3x^\{3-1\}\; =\; 3x^\{2\}$이고,
$g(x)=x^{2}g(x)\; =\; x^\{2\}$을 미분하면 $g^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^{2-1}=2xg\text{'}(x)\; =\; 2x^\{2-1\}\; =\; 2x$이다.

이를 ①에 넣으면
$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2f^{\mathrm{\prime }}(x)+3g^{\mathrm{\prime }}(x)h\text{'}(x)\; =\; 2f\text{'}(x)\; +\; 3g\text{'}(x)$에서
$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2\times 3x^2+3\times 2x=6x^2+6xh\text{'}(x)\; =\; 2\; \backslash times\; 3x^\{2\}\; +\; 3\; \backslash times\; 2x\; =\; 6x^\{2\}\; +\; 6x$이다.

그러므로 $h^{\mathrm{\prime }}(1)=h\text{'}(1)\; =\{\}$$6\times 1^2+6\times 1=6\; \backslash times\; 1^\{2\}\; +\; 6\; \backslash times\; 1\; =\{\}$$6+6=6\; +\; 6\; =\{\}$$1212$이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항