¶ 지식 정보

¶ 경우의 수

일어날 수 있는 일의 가짓수이다.

¶ 경우의 수 예시

주사위를 던질 때, 나올 수 있는 눈은 $11$, $22$, $33$, $44$, $55$, $66$으로 $66$가지이므로 경우의 수는 $66$이다.

¶ 팩토리얼

자연수 뒤에 느낌표를 붙여 나타내는 연산이다.

어떤 자연수 뒤에 $!!$(팩토리얼)이 붙으면 해당 자연수부터 $11$까지 $11$씩 작아지는 모든 자연수를 곱하라는 의미이다.

$0!0!$은 예외로 $11$이다.

¶ 팩토리얼 예시

$\circ \backslash circ$ 예시$11$:

$3!3!$은 $33$부터 $11$까지 $11$씩 작아지는 모든 자연수를 곱하라는 의미이므로 $3!=3!\; =\{\}$$3\times 2\times 1=3\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 1\; =\{\}$$66$이다.

$\circ \backslash circ$ 예시$22$:

$4!4!$은 $44$부터 $11$까지 $11$씩 작아지는 모든 자연수를 곱하라는 의미이므로 $4!=4!\; =\{\}$$4\times 3\times 2\times 1=4\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 1\; =\{\}$$2424$이다.

¶ 순열

서로 다른 $nn$개에서 중복 없이 $rr$개를 선택해 순서대로 나열하는 경우의 수이다. (단, $rr$은 $nn$보다 작거나 같은 수이다.)

서로 다른 $nn$개에서 $rr$개를 선택하는 순열은 ${}_n{\mathrm{P}}_r\_\{n\}\backslash mathrm\{P\}\_\{r\}$로 나타내고, ${}_n{\mathrm{P}}_r={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}}\_\{n\}\backslash mathrm\{P\}\_\{r\}\; =\; \backslash dfrac\{n!\}\{(n\; -\; r)!\}$이다.

¶ 순열 예시

학생 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$, $\mathrm{C}\backslash mathrm\{C\}$ 중 $22$명을 선택하여 일렬로 세우는 경우의 수를 구해보자.

서로 다른 $33$명 중 중복 없이 $22$명을 선택해 순서대로 나열하는 경우이므로 순열에 해당한다.
$n=3n\; =\; 3$, $r=2r\; =\; 2$이므로 경우의 수는
${}_3{\mathrm{P}}_2=\_\{3\}\backslash mathrm\{P\}\_\{2\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{3!}{(3-2)!}}=\backslash dfrac\{3!\}\{(3\; -\; 2)!\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{3!}{1!}}=\backslash dfrac\{3!\}\{1!\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{3\times 2\times 1}{1}}=\backslash dfrac\{3\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 1\}\{1\}\; =\{\}$$66$이다.

¶ 중복 순열

서로 다른 $nn$개에서 중복을 허용하여 $rr$개를 선택해 순서대로 나열하는 경우의 수이다.

서로 다른 $nn$개에서 $rr$개를 선택하는 중복 순열은 ${}_n{\mathrm{\Pi }}_r\_\{n\}\backslash Pi\_\{r\}$로 나타내고, ${}_n{\mathrm{\Pi }}_r=n^r\_\{n\}\backslash Pi\_\{r\}\; =\; n^\{r\}$이다.

¶ 중복 순열 예시

$33$문항으로 이루어진 $\mathrm{O}\mathrm{X}\backslash mathrm\{OX\}$ 퀴즈의 정답의 경우의 수를 구해보자.

서로 다른 $22$개($\mathrm{O}\backslash mathrm\{O\}$ 또는 $\mathrm{X}\backslash mathrm\{X\}$)에서 중복을 허용하여 $33$개($33$문항의 정답)를 선택해 순서대로 나열하는 경우이므로 중복 순열에 해당한다.
$n=2n\; =\; 2$, $r=3r\; =\; 3$이므로 경우의 수는
${}_2{\mathrm{\Pi }}_3=2^3=8\_\{2\}\backslash Pi\_\{3\}\; =\; 2^\{3\}\; =\; 8$이다.

¶ 조합

서로 다른 $nn$개에서 순서를 생각하지 않고, 중복 없이 $rr$개를 선택하는 경우의 수이다. (단, $rr$은 $nn$보다 작거나 같은 수이다.)

서로 다른 $nn$개에서 $rr$개를 선택하는 조합은 ${}_n{\mathrm{C}}_r\_\{n\}\backslash mathrm\{C\}\_\{r\}$로 나타내고, ${}_n{\mathrm{C}}_r={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!r!}}\_\{n\}\backslash mathrm\{C\}\_\{r\}\; =\; \backslash dfrac\{n!\}\{(n\; -\; r)!r!\}$이다.

¶ 조합 예시

$55$종류의 과일 중 $22$종류를 선택하는 경우의 수를 구해보자.

서로 다른 $55$종류에서 순서를 생각하지 않고, 중복 없이 $22$종류를 선택하는 경우이므로 조합에 해당한다.
$n=5n\; =\; 5$, $r=2r\; =\; 2$이므로 경우의 수는
${}_5{\mathrm{C}}_2=\_\{5\}\backslash mathrm\{C\}\_\{2\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{5!}{(5-2)!2!}}=\backslash dfrac\{5!\}\{(5\; -\; 2)!2!\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{5!}{3!2!}}=\backslash dfrac\{5!\}\{3!2!\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(3\times 2\times 1)(2\times 1)}}=\backslash dfrac\{5\; \backslash times\; 4\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 1\}\{(3\; \backslash times\; 2\; \backslash times\; 1)(2\; \backslash times\; 1)\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{5\times 4}{2\times 1}}=\backslash dfrac\{5\; \backslash times\; 4\}\{2\; \backslash times\; 1\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{20}{2}}=\backslash dfrac\{20\}\{2\}\; =\{\}$$1010$이다.

¶ 중복 조합

서로 다른 $nn$개에서 순서를 생각하지 않고, 중복을 허용하여 $rr$개를 선택하는 경우의 수이다.

서로 다른 $nn$개에서 $rr$개를 선택하는 중복 조합은 ${}_n{\mathrm{H}}_r\_\{n\}\backslash mathrm\{H\}\_\{r\}$로 나타내고, ${}_n{\mathrm{H}}_r={}_{n+r-1}{\mathrm{C}}_r\_\{n\}\backslash mathrm\{H\}\_\{r\}\; =\; \{\_\{n+r-1\}\}\backslash mathrm\{C\}\_\{r\}$이다.

¶ 중복 조합 예시

$33$명의 아이에게 똑같은 사탕 $55$개를 나누어주는 경우의 수를 구해보자. (단, 사탕을 못 받는 아이가 있을 수 있다.)

서로 다른 $33$명 중 순서를 생각하지 않고, 중복을 허용하여 $55$명을 선택하는 경우이므로 중복 조합에 해당한다.
$n=3n\; =\; 3$, $r=5r\; =\; 5$이므로 경우의 수는
${}_3{\mathrm{H}}_5=\_\{3\}\backslash mathrm\{H\}\_\{5\}\; =\{\}$${}_{3+5-1}{\mathrm{C}}_5=\{\_\{3+5-1\}\}\backslash mathrm\{C\}\_\{5\}\; =\{\}$${}_7{\mathrm{C}}_5=\{\_\{7\}\}\backslash mathrm\{C\}\_\{5\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{7!}{(7-5)!5!}}=\backslash dfrac\{7!\}\{(7\; -\; 5)!5!\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{7!}{2!5!}}=\backslash dfrac\{7!\}\{2!5!\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{7\times 6}{2\times 1}}=\backslash dfrac\{7\; \backslash times\; 6\}\{2\; \backslash times\; 1\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{42}{2}}=\backslash dfrac\{42\}\{2\}\; =\{\}$$2121$이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항