정답: $2$

자기장의 세기를 $B_{0}B\_\{0\}$, 고리의 한 변의 길이를 $dd$라 하면 $t=0t\; =\; 0$일 때, 고리와 자기장이 이루는 각은 $90^{\circ }90^\{\backslash circ\}$이므로
$+x+x$ 방향을 양$(+)(+)$이라 할 때, 고리를 통과하는 자기선속 $\mathrm{\Phi }=B_0{d}^2\sin 90^{\circ }=B_0{d}^2\backslash Phi\; =\; B\_\{0\}d^\{2\}\backslash sin\{90^\{\backslash circ\}\}\; =\; B\_\{0\}d^\{2\}$이다.

고리의 각속도를 $\omega \backslash omega$라 하면 $tt$일 때, 고리와 자기장이 이루는 각은 $\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\backslash omega\; t\; +\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}$이므로 $\mathrm{\Phi }=B_0{d}^2\sin (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\backslash Phi\; =\; B\_\{0\}d^\{2\}\backslash sin\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$이다.

그러므로 $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프는 아래 그림과 같다.

패러데이 법칙에 의해 유도 기전력을 $\epsilon \backslash varepsilon$, 고리의 감은 수를 $NN$이라 할 때, $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}$이며,
$\mathrm{\Phi }\backslash Phi$를 $tt$에 대해 미분하면 ${\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=\omega B_0{d}^2\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}\; =\; \backslash omega\; B\_\{0\}d^\{2\}\backslash cos\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$이다.

고리는 한 번만 감겨 있어 $N=1N\; =\; 1$이므로, $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-\omega B_0{d}^2\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}\; =\; -\backslash omega\; B\_\{0\}d^\{2\}\backslash cos\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$이다.

고리의 저항값을 $RR$이라 할 때, 고리에 흐르는 유도 전류의 세기 $II$는 옴의 법칙에 의해
$I={\displaystyle \frac{\epsilon }{R}}=-{\displaystyle \frac{\omega B_0{d}^2}{R}}\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})I\; =\; \backslash dfrac\{\backslash varepsilon\}\{R\}\; =\; -\backslash dfrac\{\backslash omega\; B\_\{0\}d^\{2\}\}\{R\}\backslash cos\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$이다.

${\displaystyle \frac{\omega B_0{d}^2}{R}}=I_0\backslash dfrac\{\backslash omega\; B\_\{0\}d^\{2\}\}\{R\}\; =\; I\_\{0\}$라 하면 $I=-I_0\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})I\; =\; -I\_\{0\}\backslash cos\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$로 간단히 나타낼 수 있다.

그러므로 $II$를 $tt$에 따라 나타내면 아래 그림과 같다.

따라서 정답은 $22$번이다.

정답: $3$

시간 $t=0t\; =\; 0$일 때, 고리와 자기장이 이루는 각은 $0^{\circ }0^\{\backslash circ\}$이므로 $+x+x$ 방향을 양$(+)(+)$이라 할 때, 고리를 통과하는 자기선속 $\mathrm{\Phi }=4\mathrm{T}\times (3\mathrm{m}{)}^2\times \sin 0^{\circ }=0\backslash Phi\; =\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{T\}\; \backslash times\; (3\backslash ,\backslash mathrm\{m\})^\{2\}\; \backslash times\; \backslash sin\{0^\{\backslash circ\}\}\; =\; 0$이다.

고리가 $yy$ 축을 회전축으로 각속도 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}{\mathrm{s}}^{-1}\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}$으로 회전하므로 $tt$일 때, 고리와 자기장이 이루는 각은 ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}$이다.
따라서 $\mathrm{\Phi }=\backslash Phi\; =\{\}$$4\mathrm{T}\times (3\mathrm{m}{)}^2\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)=4\backslash ,\backslash mathrm\{T\}\; \backslash times\; (3\backslash ,\backslash mathrm\{m\})^\{2\}\; \backslash times\; \backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\; =\{\}$$36\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)=36\backslash ,\backslash mathrm\{T·m^\{2\}\}\; \backslash times\; \backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\; =\{\}$$36\mathrm{W}\mathrm{b}\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)36\backslash ,\backslash mathrm\{Wb\}\; \backslash times\; \backslash sin\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)$이다.

패러데이 법칙에 의해 유도 기전력을 $\epsilon \backslash varepsilon$, 고리의 감은 수를 $NN$이라 할 때, $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}$이며,
$\mathrm{\Phi }\backslash Phi$를 $tt$에 대해 미분하면 ${\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=36\mathrm{W}\mathrm{b}\times {\displaystyle \frac{\pi }{6}}{\mathrm{s}}^{-1}\times \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)=\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}\; =\; 36\backslash ,\backslash mathrm\{Wb\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\; \backslash times\; \backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\; =\{\}$$6\pi \mathrm{W}\mathrm{b}\mathrm{/}\mathrm{s}\times \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)=6\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{Wb/s\}\; \backslash times\; \backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\; =\{\}$$6\pi \mathrm{V}\times \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)=6\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{V\}\; \backslash times\; \backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\; =\{\}$$6\pi \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)\mathrm{V}6\backslash pi\backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{V\}$이다.

고리는 한 번만 감겨 있어 $N=1N\; =\; 1$이므로, $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}=-6\pi \cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}t{\mathrm{s}}^{-1}\right)\mathrm{V}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}\; =\; -6\backslash pi\backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}t\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{V\}$이다.
그러므로 $2\mathrm{s}2\backslash ,\backslash mathrm\{s\}$일 때, $\epsilon =-6\pi \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\times 2\mathrm{s}\times {\mathrm{s}}^{-1})\mathrm{V}=-3\pi \mathrm{V}\backslash varepsilon\; =\; -6\backslash pi\backslash cos\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{6\}\; \backslash times\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{s\}\; \backslash times\; \backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\backslash right)\backslash ,\backslash mathrm\{V\}\; =\; -3\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{V\}$이다.

따라서 정답은 $33$번이다.