¶ 지식 정보

¶ 이상 기체의 특징

이상 기체는 아래와 같은 특징을 갖는다.

• 이상 기체 법칙인 $PV=nRTPV\; =\; nRT$를 만족한다.
• 이상 기체 분자의 크기를 무시하고, 분자 간 작용하는 힘이 없다.
• 이상 기체 분자는 완전 탄성 충돌을 한다.
• 이상 기체 분자는 무작위 운동을 한다.
• 이상 기체 분자에 작용하는 중력은 무시한다.

¶ 볼츠만 상수

기체 상수를 $RR$, 아보가드로 수를 $N_{\mathrm{A}}N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$라 할 때, ${\displaystyle \frac{R}{N_{\mathrm{A}}}}\backslash dfrac\{R\}\{N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}$의 값이다.
기호로 $k_{\mathrm{B}}k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{K}\backslash mathrm\{J/K\}$을 사용한다. $(k_{\mathrm{B}}=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J}\mathrm{/}\mathrm{K})(k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\; =\; 1.38\; \backslash times\; 10^\{-23\}\backslash ,\backslash mathrm\{J/K\})$

${\displaystyle \frac{R}{N_{\mathrm{A}}}}=k_{\mathrm{B}}\backslash dfrac\{R\}\{N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}\; =\; k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$, $R=N_{\mathrm{A}}{k}_{\mathrm{B}}R\; =\; N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$이므로 이상 기체의 몰 수를 $nn$이라 할 때,
이를 이상 기체 법칙 $PV=nRTPV\; =\; nRT$에 넣으면 $PV=n{N}_{\mathrm{A}}{k}_{\mathrm{B}}TPV\; =\; nN\_\{\backslash mathrm\{A\}\}k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$이다.

이때 이상 기체 분자가 총 $NN$개 있고, $N=n{N}_{\mathrm{A}}N\; =\; nN\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$이므로
$PV=nRTPV\; =\; nRT$는 $PV=N{k}_{\mathrm{B}}TPV\; =\; Nk\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$로도 나타낼 수 있다.

¶ 이상 기체의 평균 속력

어느 물리량의 평균은 기호 위에 가로 막대기를 그려 나타낸다.
예를 들어, 여러 물체의 속력 $vv$가 다양하게 분포할 때, 평균 속력은 $\bar{v}\backslash overline\{v\}$로 나타낸다.

아래 그림과 같이 이상 기체 분자의 속도를 $vv$라 할 때, $xx$, $yy$, $zz$ 축에 나란한 속도 $v_{x}v\_\{x\}$, $v_{y}v\_\{y\}$, $v_{z}v\_\{z\}$로 분해하면 $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^{2}v^\{2\}\; =\; v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\; +\; v\_\{y\}^\{\backslash ,2\}\; +\; v\_\{z\}^\{\backslash ,2\}$을 만족한다.

$xyzxyz$ 좌표(좌표 공간)에 놓인 한 변의 길이가 $LL$인 정육면체 용기에 어느 이상 기체가 들어 있다고 가정할 때, 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.

이상 기체 분자는 방향에 관계없이 무작위 운동을 하므로 이상 기체 분자 전체로 보았을 때
$\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}\backslash overline\{v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\; =\; \backslash overline\{v\_\{y\}^\{\backslash ,2\}\}\; =\; \backslash overline\{v\_\{z\}^\{\backslash ,2\}\}$이다.

그러므로 $\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}\backslash overline\{v^\{2\}\}\; =\; \backslash overline\{v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\; +\; \backslash overline\{v\_\{y\}^\{\backslash ,2\}\}\; +\; \backslash overline\{v\_\{z\}^\{\backslash ,2\}\}$에서
$\overline{v_x^2}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overline{v^2}\backslash overline\{v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash overline\{v^\{2\}\}$이다.⋯①

¶ 이상 기체 분자의 운동

이상 기체 분자의 운동을 통해 이상 기체의 평균 속력과 절대 온도 $TT$의 관계를 유도해 보자.

$1.1.$ 충격량을 통해 압력과의 관계식 구하기:

아래 그림과 같이 이상 기체 분자 $11$개의 질량을 $mm$, $xx$ 축에 나란한 속도를 $v_{x}v\_\{x\}$라 할 때,
이상 기체 분자는 완전 탄성 충돌하므로 벽과 충돌 후 $xx$ 축에 나란한 속도는 $-v_x-v\_\{x\}$이다.

따라서 이상 기체 분자 $11$개가 벽과 충돌할 때, 벽이 받은 충격량의 크기는 운동량 변화량의 크기와 같은 $2m\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }2m|v\_\{x\}|$이다.

충돌 직후 이상 기체 분자가 반대 방향으로 운동하여 반대편 벽까지 이동하는 데 걸린 시간은 ${\displaystyle \frac{L}{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}}\backslash dfrac\{L\}\{|v\_\{x\}|\}$이고,
반대편 벽에 충돌한 직후부터 다시 처음에 충돌했던 벽까지 되돌아오는 데 걸린 시간은 ${\displaystyle \frac{L}{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}}\backslash dfrac\{L\}\{|v\_\{x\}|\}$이다.

그러므로 이상 기체 분자가 벽에 충돌한 후 다시 해당 벽으로 되돌아오는 데 걸린 시간은 ${\displaystyle \frac{L}{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}}+{\displaystyle \frac{L}{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{2L}{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}}\backslash dfrac\{L\}\{|v\_\{x\}|\}\; +\; \backslash dfrac\{L\}\{|v\_\{x\}|\}\; =\; \backslash dfrac\{2L\}\{|v\_\{x\}|\}$이고,
$11$초당 이상 기체 분자 $11$개가 벽에 충돌한 횟수는 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}{2L}}\backslash dfrac\{|v\_\{x\}|\}\{2L\}$이다.

이를 통해 이상 기체 분자 $11$개로부터 $11$초당 벽이 받은 충격량의 크기는 $2m\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }\times {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}{2L}}={\displaystyle \frac{m{v}_x^2}{L}}2m|v\_\{x\}|\; \backslash times\; \backslash dfrac\{|v\_\{x\}|\}\{2L\}\; =\; \backslash dfrac\{mv\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\{L\}$임을 알 수 있다.

$v_x^{2}v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}$은 $v_{x}v\_\{x\}$의 부호와 관계없이 항상 양수이기 때문에 ${\mathrm{\mid }{v}_x\mathrm{\mid }}^2=v_x^2\{|v\_\{x\}|\}^\{2\}\; =\; v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}$이다.

이상 기체 분자가 총 $NN$개 있고, 평균 속력을 $\bar{v}\backslash overline\{v\}$라 할 때,
이상 기체 분자 전체로부터 $11$초당 벽이 받은 충격량의 크기는 ${\displaystyle \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}}\backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\}\{L\}$이다.

①에 의해 $\overline{v_x^2}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overline{v^2}\backslash overline\{v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash overline\{v^\{2\}\}$이므로 ${\displaystyle \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}}={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}}\backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v\_\{x\}^\{\backslash ,2\}\}\}\{L\}\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L\}$이다.

$11$초당 벽이 받은 충격량(충격량 공식 $FtFt$를 시간 $tt$로 나눈 값)은 힘과 같으므로 한 벽에 가해진 힘은 ${\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}}\backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L\}$이다.

이때 압력은 가해진 힘을 넓이로 나눈 값이므로 이상 기체가 한 벽에 가하는 압력 $PP$는
${\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}}\backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L\}$을 한 벽의 넓이인 $L^{2}L^\{2\}$으로 나눈 $P={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}}}{L^2}}={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}}P\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L\}\}\{L^\{2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L^\{3\}\}$이다.

이상 기체 분자는 방향에 관계없이 무작위 운동을 하므로 이상 기체가 각각의 벽에 가하는 압력은 $P={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}}P\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L^\{3\}\}$으로 같다.

따라서 이상 기체의 압력 $P={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}}P\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L^\{3\}\}$이다.

용기의 부피(이상 기체의 부피)를 $VV$라 할 때, $V=L^{3}V\; =\; L^\{3\}$이므로 $P={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}}={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}}P\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3L^\{3\}\}\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3V\}$이다.

---

$2.2.$ 구한 압력을 $PV=N{k}_{\mathrm{B}}TPV\; =\; Nk\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$에 대입하기:

볼츠만 상수를 $k_{\mathrm{B}}k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$, 이상 기체의 절대 온도를 $TT$라 하면 $PV=N{k}_{\mathrm{B}}TPV\; =\; Nk\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$이다.
여기에 $P={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}}P\; =\; \backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3V\}$을 넣으면
${\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}}\times V=N{k}_{\mathrm{B}}T\backslash dfrac\{Nm\backslash overline\{v^\{2\}\}\}\{3V\}\; \backslash times\; V\; =\; Nk\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$,
$\bar{v}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}}}\backslash overline\{v\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{3k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T\}\{m\}\}$이다.

¶ 맥스웰·볼츠만 분포

아래 그림은 이상 기체 분자의 속력 분포를 상대적 분자 수$--$속력 그래프로 나타낸 것이다.

상대적 분자 수$--$속력 그래프에서 그래프와 속력 축이 만드는 면적은 이상 기체의 분자 수에 정비례(두 값이 같은 비율로 변화)한다.

이상 기체 분자의 평균 속력 $\bar{v}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}}}\backslash overline\{v\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{3k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T\}\{m\}\}$이므로,
이상 기체의 온도를 높이면 분자의 속력이 증가하는 방향으로 속력 분포가 이동한다.

¶ 내부 에너지

기체를 이루는 분자들의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합이다.
기호로 $UU$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{J}\backslash mathrm\{J\}$을 사용한다.

아래 그림과 같이 단원자 분자(하나의 원자로 이루어진 분자)의 경우 하나의 점으로 보아 진동 등을 고려하지 않아도 되고,
분자 간 작용하는 힘이 없으며 중력은 무시하므로 퍼텐셜 에너지는 $00$이다.

따라서 단원자 분자 이상 기체의 내부 에너지는 단원자 분자들의 운동 에너지의 합과 같다.

이상 기체 분자가 총 $NN$개 있고, 평균 속력을 $\bar{v}\backslash overline\{v\}$, 이상 기체 분자 $11$개의 질량을 $mm$이라 하면, 내부 에너지 $UU$는
$U=N\times {\displaystyle \frac{1}{2}}m\overline{v^2}U\; =\; N\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}m\backslash overline\{v^\{2\}\}$이다.

볼츠만 상수를 $k_{\mathrm{B}}k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$, 이상 기체의 절대 온도를 $TT$라 하면, $\bar{v}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}}}\backslash overline\{v\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{3k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T\}\{m\}\}$이므로
이를 $U=N\times {\displaystyle \frac{1}{2}}m\overline{v^2}U\; =\; N\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}m\backslash overline\{v^\{2\}\}$에 넣으면
$U=N\times {\displaystyle \frac{1}{2}}m\times {\displaystyle \frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}}U\; =\; N\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}m\; \backslash times\; \backslash dfrac\{3k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T\}\{m\}$,
$U={\displaystyle \frac{3}{2}}N{k}_{\mathrm{B}}TU\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{2\}Nk\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$이다.

$k_{\mathrm{B}}={\displaystyle \frac{R}{N_{\mathrm{A}}}}k\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\; =\; \backslash dfrac\{R\}\{N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}$이므로 이를 $U={\displaystyle \frac{3}{2}}N{k}_{\mathrm{B}}TU\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{2\}Nk\_\{\backslash mathrm\{B\}\}T$에 넣으면
$U={\displaystyle \frac{3}{2}}N\times {\displaystyle \frac{R}{N_{\mathrm{A}}}}\times TU\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{2\}N\; \backslash times\; \backslash dfrac\{R\}\{N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}\; \backslash times\; T$,
$U={\displaystyle \frac{3NRT}{2N_{\mathrm{A}}}}U\; =\; \backslash dfrac\{3NRT\}\{2N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}$이다.

이상 기체의 몰 수를 $nn$이라 할 때,
$N=n{N}_{\mathrm{A}}N\; =\; nN\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$,
${\displaystyle \frac{N}{N_{\mathrm{A}}}}=n\backslash dfrac\{N\}\{N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}\; =\; n$이므로
이를 $U={\displaystyle \frac{3NRT}{2N_{\mathrm{A}}}}U\; =\; \backslash dfrac\{3NRT\}\{2N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}$에 넣으면
$U={\displaystyle \frac{3n{N}_{\mathrm{A}}RT}{2N_{\mathrm{A}}}}U\; =\; \backslash dfrac\{3nN\_\{\backslash mathrm\{A\}\}RT\}\{2N\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}$,
$U={\displaystyle \frac{3}{2}}nRTU\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{2\}nRT$이다.

따라서 단원자 분자 이상 기체의 내부 에너지는 ${\displaystyle \frac{3}{2}}nRT\backslash dfrac\{3\}\{2\}nRT$이다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항