k와 a를 모두 상수라 할 때, 아래를 만족한다.
- y=sinx이면 y′=cosx이다.
- y=sin(kx)이면 y′=kcos(kx)이다.
- y=sin(kx+a)이면 y′=kcos(kx+a)이다.
- y=cosx이면 y′=−sinx이다.
- y=cos(kx)이면 y′=−ksin(kx)이다.
- y=cos(kx+a)이면 y′=−ksin(kx+a)이다.
g(x)=3sin(2x)에 대하여 g′(x)를 구해보자.
f(x)=sin(2x)라 하면 g(x)=3f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
g(x)=3f(x)를 미분하면
g′(x)=3f′(x)⋯①이다.
y=sin(kx)이면 y′=kcos(kx)이므로
f(x)=sin(2x)를 미분하면 f′(x)=2cos(2x)이다.
이를 ①에 넣으면
g′(x)=3f′(x)에서
g′(x)=3×2cos(2x),
g′(x)=6cos(2x)이다.
k를 0이 아닌 상수, C를 적분상수라 할 때, 아래를 만족한다.
- ∫sinxdx=−cosx+C이다.
- ∫sin(kx)dx=−k1cos(kx)+C이다.
- ∫cosxdx=sinx+C이다.
- ∫cos(kx)dx=k1sin(kx)+C이다.
g(x)=6cos(3x)에 대하여 ∫g(x)dx를 구해보자.
f(x)=cos(3x)라 하면 g(x)=6f(x)이다.
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이므로
g(x)=6f(x)를 적분하면
∫g(x)dx=6∫f(x)dx⋯①이다.
∫cos(kx)dx=k1sin(kx)+C이므로
f(x)=cos(3x)를 적분하면 ∫f(x)dx=31sin(3x)+C1이다.
이를 ①에 넣으면
∫g(x)dx=6∫f(x)dx에서
∫g(x)dx=6(31sin(3x)+C1),
∫g(x)dx=2sin(3x)+6C1이다.
여기서 C=6C1이라 하면,
∫g(x)dx=2sin(3x)+6C1은
∫g(x)dx=2sin(3x)+C이다.
정답: $2$
f(x)=cos(4x)라 하면 g(x)=21f(x)이다.
y=cf(x)이면 y′=cf′(x)이므로
g(x)=21f(x)를 미분하면
g′(x)=21f′(x)⋯①이다.
y=cos(kx)이면 y′=−ksin(kx)이므로
f(x)=cos(4x)를 미분하면 f′(x)=−4sin(4x)이다.
이를 ①에 넣으면
g′(x)=21f′(x)에서
g′(x)=21×(−4sin(4x)),
g′(x)=−2sin(4x)이다.
g′(24π)=−2sin(4×24π),
g′(24π)=−2sin(6π),
g′(24π)=−2×21,
g′(24π)=−1이다.
따라서 정답은 2번이다.
정답: $3$
f(x)=sin(2x)라 하면 g(x)=4f(x)이다.
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx이므로
g(x)=4f(x)를 적분하면
∫g(x)dx=4∫f(x)dx⋯①이다.
∫sin(kx)dx=−k1cos(kx)+C이므로
f(x)=sin(2x)를 적분하면 ∫f(x)dx=−21cos(2x)+C1이다.
이를 ①에 넣으면
∫g(x)dx=4∫f(x)dx에서
∫g(x)dx=4(−21cos(2x)+C1),
∫g(x)dx=−2cos(2x)+4C1이다.
여기서 C=4C1이라 하면,
∫g(x)dx=−2cos(2x)+4C1은
∫g(x)dx=−2cos(2x)+C이다.
G(x)=−2cos(2x)+C에서 G(6π)=3이므로
−2cos(2×6π)+C=3,
−2cos(3π)+C=3,
−2×21+C=3,
−1+C=3,
C=3+1,
C=4이다.
G(x)=−2cos(2x)+4이므로
G(0)=−2cos(2×0)+4,
G(0)=−2cos0+4,
G(0)=−2×1+4,
G(0)=−2+4,
G(0)=2이다.
따라서 정답은 3번이다.
