¶ 지식 정보

¶ 패러데이 법칙

도선의 유도 기전력을 $\epsilon \backslash varepsilon$, 도선의 감은 수를 $NN$, 도선을 통과하는 자기선속을 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$, 시간을 $tt$라 할 때, $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}$이다.

전자기 유도가 일어날 때 유도 전류의 방향은 자기선속의 변화를 방해하는 방향이므로 $N{\displaystyle \frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}}N\backslash dfrac\{d\backslash Phi\}\{dt\}$ 앞에 $--$가 들어간다.

• 자기선속의 변화가 일정한 경우:
  $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프에서 기울기가 일정하므로 $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}$로 나타낼 수 있다.

¶ 패러데이 법칙 예시

• 자기장의 세기가 변하는 경우:

그림 (가)는 균일한 자기장 영역에 금속 고리가 고정되어 있는 모습을 나타낸 것이고,
(나)는 (가)에서 자기장의 세기를 시간 $tt$에 따라 나타낸 것이다. 자기장의 방향은 $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향이다.
고리에 흐르는 유도 전류의 방향과 유도 기전력의 크기를 구해보자.

$1.1.$ 고리에 흐르는 유도 전류의 방향 구하기:

(나)를 통해 고리에서 $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향의 자기선속이 $tt$에 따라 증가함을 알 수 있다.

$xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향의 자기선속이 증가하는 것을 방해하려면
$xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향의 자기선속을 만들어 상쇄해야 한다.

$xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향의 자기선속을 만들려면 전류는 시계 방향으로 흘러야 하므로,
아래 그림과 같이 고리에 흐르는 유도 전류의 방향은 시계 방향이다.

$2.2.$ 유도 기전력의 크기 구하기:

고리 내부의 면적은 $d^{2}d^\{2\}$이고, 고리가 만드는 면과 자기장이 이루는 각은 수직$(90^{\circ })(90^\{\backslash circ\})$이므로 고리를 통과하는 자기선속을 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$, 자기장의 세기를 $BB$, $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향을 양$(+)(+)$이라 하면,
$\mathrm{\Phi }=B{d}^2\sin 90^{\circ }=B{d}^2\backslash Phi\; =\; Bd^\{2\}\backslash sin\{90^\{\backslash circ\}\}\; =\; Bd^\{2\}$이다.

그러므로 $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프는 아래 그림과 같다.

고리의 유도 기전력을 $\epsilon \backslash varepsilon$이라 할 때, $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프에서 기울기가 일정하므로 $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}$이다.
고리는 한 번만 감았으므로 $N=1N\; =\; 1$이고, $t_{0}t\_\{0\}$ 동안 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$는 $B_0{d}^{2}B\_\{0\}d^\{2\}$만큼 변하므로 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{B_0{d}^2}{t_0}}\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; \backslash dfrac\{B\_\{0\}d^\{2\}\}\{t\_\{0\}\}$이다.

$\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=-{\displaystyle \frac{B_0{d}^2}{t_0}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; -\backslash dfrac\{B\_\{0\}d^\{2\}\}\{t\_\{0\}\}$이므로 유도 기전력의 크기는 ${\displaystyle \frac{B_0{d}^2}{t_0}}\backslash dfrac\{B\_\{0\}d^\{2\}\}\{t\_\{0\}\}$이다.

---

• 도선이 움직이는 경우:

그림과 같이 한 변의 길이가 $2d2d$인 정사각형 금속 고리가 균일한 자기장 영역을 $+x+x$ 방향으로 속력 $vv$로 등속도 운동하며 지난다.
자기장의 세기는 $B_{0}B\_\{0\}$이고, 방향은 $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향이다.
시간 $t=0t\; =\; 0$일 때, 금속 고리의 점 $\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$의 위치는 $x=0x\; =\; 0$이다.
$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$가 $x=2dx\; =\; 2d$를 지날 때, 고리에 흐르는 유도 전류의 방향과 유도 기전력의 크기를 구해보자.

$1.1.$ 고리에 흐르는 유도 전류의 방향 구하기:

$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$가 $x=dx\; =\; d$에서 $x=3dx\; =\; 3d$로 운동하는 동안 고리에서 $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향의 자기선속이 증가한다.

$xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향의 자기선속이 증가하는 것을 방해하려면
$xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향의 자기선속을 만들어 상쇄해야 한다.

$xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향의 자기선속을 만들려면 전류는 시계 방향으로 흘러야 하므로,
아래 그림과 같이 $\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$가 $x=2dx\; =\; 2d$를 지날 때, 고리에 흐르는 유도 전류의 방향은 시계 방향이다.

$2.2.$ 유도 기전력의 크기 구하기:

고리가 만드는 면과 자기장이 이루는 각은 수직$(90^{\circ })(90^\{\backslash circ\})$이므로 자기장 영역에 포함된 고리 내부의 면적을 $AA$, 고리를 통과하는 자기선속을 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$, $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향을 양$(+)(+)$이라 하면,
$\mathrm{\Phi }=B_{0}A\sin 90^{\circ }=B_{0}A\backslash Phi\; =\; B\_\{0\}A\backslash sin\{90^\{\backslash circ\}\}\; =\; B\_\{0\}A$이다.

$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$가 $x=dx\; =\; d$에서 $x=3dx\; =\; 3d$로 운동하는 동안 $AA$는 일정하게 증가하고, $\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$의 위치가 $x=3dx\; =\; 3d$일 때 $\mathrm{\Phi }=4B_0{d}^2\backslash Phi\; =\; 4B\_\{0\}d^\{2\}$이다.

또한 고리는 속력 $vv$로 등속도 운동하므로 $dd$만큼 이동하는 데 걸리는 시간은 ${\displaystyle \frac{d}{v}}\backslash dfrac\{d\}\{v\}$이다.

그러므로 $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프는 아래 그림과 같다.

고리의 유도 기전력을 $\epsilon \backslash varepsilon$이라 할 때, 고리가 자기장 영역에 들어가는 동안 $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프에서 기울기가 일정하므로 $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}$이다.
고리는 한 번만 감았으므로 $N=1N\; =\; 1$이고, ${\displaystyle \frac{2d}{v}}\backslash dfrac\{2d\}\{v\}$ 동안 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$는 $4B_0{d}^{2}4B\_\{0\}d^\{2\}$만큼 변하므로 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{4B_0{d}^2}{{\displaystyle \frac{2d}{v}}}}=\backslash dfrac\{4B\_\{0\}d^\{2\}\}\{\backslash dfrac\{2d\}\{v\}\}\; =\{\}$$4B_0{d}^2\times {\displaystyle \frac{v}{2d}}=4B\_\{0\}d^\{2\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{v\}\{2d\}\; =\{\}$$2B_{0}dv2B\_\{0\}dv$이다.
$\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=-2B_{0}dv\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; -2B\_\{0\}dv$이므로 유도 기전력의 크기는 $2B_{0}dv2B\_\{0\}dv$이다.

---

• 도선 내부 면적이 변하는 경우:

그림과 같이 폭이 $2d2d$로 일정한 금속 레일이 균일한 자기장 영역이 있는 $xyxy$ 평면에 고정되어 있다.
자기장의 세기는 $B_{0}B\_\{0\}$이고, 방향은 $xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향이다.
금속 막대가 레일 위에서 $+x+x$ 방향으로 속력 $vv$로 등속도 운동하고, 시간 $t=0t\; =\; 0$일 때 금속 막대의 위치는 $x=0x\; =\; 0$이다.
$t={\displaystyle \frac{d}{v}}t\; =\; \backslash dfrac\{d\}\{v\}$일 때, 막대에 흐르는 유도 전류의 방향과 유도 기전력의 크기를 구해보자.

$1.1.$ 막대에 흐르는 유도 전류의 방향 구하기:

막대가 $+x+x$ 방향으로 운동하는 동안 레일과 금속 막대가 만드는 고리에서 $xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향의 자기선속이 증가한다.

$xyxy$ 평면에 수직으로 들어가는 방향의 자기선속이 증가하는 것을 방해하려면
$xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향의 자기선속을 만들어 상쇄해야 한다.

$xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향의 자기선속을 만들려면 전류는 시계 반대 방향으로 흘러야 하므로,
아래 그림과 같이 막대에 흐르는 유도 전류의 방향은 $+y+y$ 방향이다.

$2.2.$ 유도 기전력의 크기 구하기:

고리가 만드는 면과 자기장이 이루는 각은 수직$(90^{\circ })(90^\{\backslash circ\})$이므로 레일과 금속 막대가 만드는 고리의 내부 면적을 $AA$, 고리를 통과하는 자기선속을 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$, $xyxy$ 평면에 수직으로 나오는 방향을 양$(+)(+)$이라 하면,
$\mathrm{\Phi }=-B_{0}A\sin 90^{\circ }=-B_{0}A\backslash Phi\; =\; -B\_\{0\}A\backslash sin\{90^\{\backslash circ\}\}\; =\; -B\_\{0\}A$이다.

$t=0t\; =\; 0$일 때 $\mathrm{\Phi }=-4B_0{d}^2\backslash Phi\; =\; -4B\_\{0\}d^\{2\}$이고,
금속 막대가 $+x+x$ 방향으로 운동하는 동안 $AA$는 일정하게 증가한다.

금속 막대는 속력 $vv$로 등속도 운동하므로 ${\displaystyle \frac{d}{v}}\backslash dfrac\{d\}\{v\}$ 동안 $dd$만큼 이동한다.
따라서 $t={\displaystyle \frac{d}{v}}t\; =\; \backslash dfrac\{d\}\{v\}$일 때, $A=2d\times (2d+d)=6d^{2}A\; =\; 2d\; \backslash times\; (2d\; +\; d)\; =\; 6d^\{2\}$이고, $\mathrm{\Phi }=-6B_0{d}^2\backslash Phi\; =\; -6B\_\{0\}d^\{2\}$이다.

그러므로 $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프는 아래 그림과 같다.

고리의 유도 기전력을 $\epsilon \backslash varepsilon$이라 할 때, $\mathrm{\Phi }-t\backslash Phi\; -\; t$ 그래프에서 기울기가 일정하므로 $\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}$이다.
레일과 금속 막대로 이루어진 고리는 한 번만 감았으므로 $N=1N\; =\; 1$이고, ${\displaystyle \frac{d}{v}}\backslash dfrac\{d\}\{v\}$ 동안 $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$는 $-2B_0{d}^2-2B\_\{0\}d^\{2\}$만큼 변하므로 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{-2B_0{d}^2}{{\displaystyle \frac{d}{v}}}}=\backslash dfrac\{-2B\_\{0\}d^\{2\}\}\{\backslash dfrac\{d\}\{v\}\}\; =\{\}$$-2B_0{d}^2\times {\displaystyle \frac{v}{d}}=-2B\_\{0\}d^\{2\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{v\}\{d\}\; =\{\}$$-2B_{0}dv-2B\_\{0\}dv$이다.
$\epsilon =-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}=2B_{0}dv\backslash varepsilon\; =\; -N\backslash dfrac\{\backslash Delta\; \backslash Phi\}\{\backslash Delta\; t\}\; =\; 2B\_\{0\}dv$이므로 유도 기전력의 크기는 $2B_{0}dv2B\_\{0\}dv$이다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항