정답: $4$

회전축을 기준으로 같은 각속도로 회전하는 물체가 총 $nn$개 있고,
$ii$번째 물체의 질량을 $m_{i}m\_\{i\}$, 회전축으로부터 $ii$번째 물체까지의 거리를 $r_{i}r\_\{i\}$라 할 때, 이 물체들로 이루어진 계의 관성 모멘트 $I={\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2}I\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}m\_\{i\}r\_\{i\}^\{\backslash ,2\}$이다.

막대의 질량은 무시하므로 계의 관성 모멘트는 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$~$\mathrm{D}\backslash mathrm\{D\}$만 고려하면 된다.
물체가 총 $44$개이므로 $n=4n\; =\; 4$이고, $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$, $\mathrm{C}\backslash mathrm\{C\}$, $\mathrm{D}\backslash mathrm\{D\}$를 각각 $11$, $22$, $33$, $44$번째 물체라 하면
$m_1=mm\_\{1\}\; =\; m$, $m_2=4mm\_\{2\}\; =\; 4m$, $m_3=4mm\_\{3\}\; =\; 4m$, $m_4=mm\_\{4\}\; =\; m$이다.

• 회전축이 $xx$ 축일 때 관성 모멘트 구하기:

$xx$ 축으로부터 물체까지의 거리는 $r_1=Lr\_\{1\}\; =\; L$, $r_2=0r\_\{2\}\; =\; 0$, $r_3=0r\_\{3\}\; =\; 0$, $r_4=Lr\_\{4\}\; =\; L$이다.

그러므로 회전축이 $xx$ 축일 때 관성 모멘트를 $I_{x}I\_\{x\}$라 하면,
$I_x={\displaystyle \sum _{i=1}^4{m}_i{r}_i^2}I\_\{x\}\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^\{4\}m\_\{i\}r\_\{i\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_x=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2+m_3{r}_3^2+m_4{r}_4^{2}I\_\{x\}\; =\; m\_\{1\}r\_\{1\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{2\}r\_\{2\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{3\}r\_\{3\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{4\}r\_\{4\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_x=(m\times L^2)+(4m\times 0^2)+(4m\times 0^2)+(m\times L^2)I\_\{x\}\; =\; (m\; \backslash times\; L^\{2\})\; +\; (4m\; \backslash times\; 0^\{2\})\; +\; (4m\; \backslash times\; 0^\{2\})\; +\; (m\; \backslash times\; L^\{2\})$,
$I_x=2m{L}^{2}I\_\{x\}\; =\; 2mL^\{2\}$이다.

• 회전축이 $yy$ 축일 때 관성 모멘트 구하기:

$yy$ 축으로부터 물체까지의 거리는 $r_1=0r\_\{1\}\; =\; 0$, $r_2=dr\_\{2\}\; =\; d$, $r_3=dr\_\{3\}\; =\; d$, $r_4=0r\_\{4\}\; =\; 0$이다.

그러므로 회전축이 $yy$ 축일 때 관성 모멘트를 $I_{y}I\_\{y\}$라 하면,
$I_y={\displaystyle \sum _{i=1}^4{m}_i{r}_i^2}I\_\{y\}\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^\{4\}m\_\{i\}r\_\{i\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_y=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2+m_3{r}_3^2+m_4{r}_4^{2}I\_\{y\}\; =\; m\_\{1\}r\_\{1\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{2\}r\_\{2\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{3\}r\_\{3\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{4\}r\_\{4\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_y=(m\times 0^2)+(4m\times d^2)+(4m\times d^2)+(m\times 0^2)I\_\{y\}\; =\; (m\; \backslash times\; 0^\{2\})\; +\; (4m\; \backslash times\; d^\{2\})\; +\; (4m\; \backslash times\; d^\{2\})\; +\; (m\; \backslash times\; 0^\{2\})$,
$I_y=8m{d}^{2}I\_\{y\}\; =\; 8md^\{2\}$이다.

계의 관성 모멘트는 회전축이 $xx$ 축일 때와 $yy$ 축일 때가 같으므로
$I_x=I_{y}I\_\{x\}\; =\; I\_\{y\}$,
$2m{L}^2=8m{d}^{2}2mL^\{2\}\; =\; 8md^\{2\}$,
$L=2dL\; =\; 2d$이다.

따라서 정답은 $44$번이다.

정답: $3$

회전축을 기준으로 같은 각속도로 회전하는 물체가 총 $nn$개 있고,
$ii$번째 물체의 질량을 $m_{i}m\_\{i\}$, 회전축으로부터 $ii$번째 물체까지의 거리를 $r_{i}r\_\{i\}$라 할 때, 이 물체들로 이루어진 계의 관성 모멘트 $I={\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2}I\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}m\_\{i\}r\_\{i\}^\{\backslash ,2\}$이다.

막대의 질량은 무시하므로 계의 관성 모멘트는 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$만 고려하면 된다.
물체가 총 $22$개이므로 $n=2n\; =\; 2$이고, $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$를 각각 $11$, $22$번째 물체라 하면 $m_1=Mm\_\{1\}\; =\; M$, $m_2=1\mathrm{k}\mathrm{g}m\_\{2\}\; =\; 1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$이다.

• (가)에서 계의 관성 모멘트 구하기:

회전축(화면(종이면)에 수직이고 $\mathrm{p}\backslash mathrm\{p\}$를 지나는 선)으로부터 물체까지의 거리는 $r_1=1\mathrm{m}r\_\{1\}\; =\; 1\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$, $r_2=3\mathrm{m}r\_\{2\}\; =\; 3\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$이다.

그러므로 (가)에서 관성 모멘트를 $I_{\text{(가)}}I\_\{\backslash text\{(가)\}\}$라 하면,
$I_{\text{(가)}}={\displaystyle \sum _{i=1}^2{m}_i{r}_i^2}I\_\{\backslash text\{(가)\}\}\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^\{2\}m\_\{i\}r\_\{i\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_{\text{(가)}}=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^{2}I\_\{\backslash text\{(가)\}\}\; =\; m\_\{1\}r\_\{1\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{2\}r\_\{2\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_{\text{(가)}}=(M\times (1\mathrm{m}{)}^2)+(1\mathrm{k}\mathrm{g}\times (3\mathrm{m}{)}^2)I\_\{\backslash text\{(가)\}\}\; =\; \backslash left(M\; \backslash times\; (1\backslash ,\backslash mathrm\{m\})^\{2\}\backslash right)\; +\; \backslash left(1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; (3\backslash ,\backslash mathrm\{m\})^\{2\}\backslash right)$,
$I_{\text{(가)}}=M{\mathrm{m}}^2+9\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^{2}I\_\{\backslash text\{(가)\}\}\; =\; M\backslash ,\backslash mathrm\{m^\{2\}\}\; +\; 9\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m^\{2\}\}$이다.

• (나)에서 계의 관성 모멘트 구하기:

회전축(화면(종이면)에 수직이고 $\mathrm{q}\backslash mathrm\{q\}$를 지나는 선)으로부터 물체까지의 거리는 $r_1=2\mathrm{m}r\_\{1\}\; =\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$, $r_2=2\mathrm{m}r\_\{2\}\; =\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$이다.

그러므로 (나)에서 관성 모멘트를 $I_{\text{(나)}}I\_\{\backslash text\{(나)\}\}$라 하면,
$I_{\text{(나)}}={\displaystyle \sum _{i=1}^2{m}_i{r}_i^2}I\_\{\backslash text\{(나)\}\}\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{i=1\}^\{2\}m\_\{i\}r\_\{i\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_{\text{(나)}}=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^{2}I\_\{\backslash text\{(나)\}\}\; =\; m\_\{1\}r\_\{1\}^\{\backslash ,2\}\; +\; m\_\{2\}r\_\{2\}^\{\backslash ,2\}$,
$I_{\text{(나)}}=(M\times (2\mathrm{m}{)}^2)+(1\mathrm{k}\mathrm{g}\times (2\mathrm{m}{)}^2)I\_\{\backslash text\{(나)\}\}\; =\; \backslash left(M\; \backslash times\; (2\backslash ,\backslash mathrm\{m\})^\{2\}\backslash right)\; +\; \backslash left(1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; (2\backslash ,\backslash mathrm\{m\})^\{2\}\backslash right)$,
$I_{\text{(나)}}=4M{\mathrm{m}}^2+4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^{2}I\_\{\backslash text\{(나)\}\}\; =\; 4M\backslash ,\backslash mathrm\{m^\{2\}\}\; +\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m^\{2\}\}$이다.

계의 관성 모멘트는 (나)에서가 (가)에서의 $22$배이므로
$2I_{\text{(가)}}=I_{\text{(나)}}2I\_\{\backslash text\{(가)\}\}\; =\; I\_\{\backslash text\{(나)\}\}$,
$2\times (M{\mathrm{m}}^2+9\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^2)=4M{\mathrm{m}}^2+4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot {\mathrm{m}}^{2}2\; \backslash times\; (M\backslash ,\backslash mathrm\{m^\{2\}\}\; +\; 9\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m^\{2\}\})\; =\; 4M\backslash ,\backslash mathrm\{m^\{2\}\}\; +\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m^\{2\}\}$,
$M=7\mathrm{k}\mathrm{g}M\; =\; 7\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$이다.

따라서 정답은 $33$번이다.