¶ 지식 정보

¶ 운동량(선운동량)

물체의 질량$(m)(m)$과 속도$(\overrightarrow{v})(\backslash overrightarrow\{v\})$의 곱$(m\overrightarrow{v})(m\backslash overrightarrow\{v\})$인 물리량이다.
기호로 $\overrightarrow{p}\backslash overrightarrow\{p\}$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\backslash mathrm\{kg·m/s\}$를 사용한다.
운동량의 방향은 속도$(\overrightarrow{v})(\backslash overrightarrow\{v\})$의 방향과 같다.

¶ 운동량 예시

그림은 질량이 $5\mathrm{k}\mathrm{g}5\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$인 물체가 $2\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}2\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$의 속력으로 운동하고 있는 모습을 나타낸 것이다.
물체의 운동량을 구해보자.

오른쪽 방향을 양$(+)(+)$이라 할 때, 물체의 속도는 $+2\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}+2\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$이다.

운동량은 물체의 질량과 속도의 곱과 같으므로 $5\mathrm{k}\mathrm{g}\times (+2\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})=10\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}5\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; \backslash left(+2\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\backslash right)\; =\; 10\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}$이다.

¶ 운동량 보존 법칙

충돌하는 물체의 운동량의 합은 충돌 전과 후가 같다.

아래 그림과 같이 물체 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 질량을 각각 $m_{\mathrm{A}}m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$, $m_{\mathrm{B}}m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$라 하고,
$\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 충돌 전후 속도를 각각 ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}1}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}1\}$, ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}2}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}2\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 충돌 전후 속도를 각각 ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}1}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}1\}$, ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}2}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}2\}$라 하면
운동량 보존 법칙에 의해 $m_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}1}+m_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}1}=m_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}2}+m_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}2}m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}1\}\; +\; m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}1\}\; =\; m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}2\}\; +\; m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}2\}$이다.

¶ 운동량 보존 법칙 예시

그림 (가)는 마찰이 없는 수평면에서 물체 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$가 정지해 있는 물체 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$를 향해 $vv$의 속력으로 등속도 운동을 하는 모습이고,
(나)는 (가)에서 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 충돌한 후 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 속력이 각각 $1\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}1\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$, $2\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}2\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$인 모습을 나타낸 것이다.
$\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 질량은 각각 $1\mathrm{k}\mathrm{g}1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$, $2\mathrm{k}\mathrm{g}2\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$일 때, $vv$를 구해보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)

오른쪽 방향을 양$(+)(+)$이라 할 때, (가)에서 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 운동량 구하기:

• $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 운동량:
  $1\mathrm{k}\mathrm{g}\times (+v)=v\mathrm{k}\mathrm{g}1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; \backslash left(+v\backslash right)\; =\; v\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$
• $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 운동량:
  $2\mathrm{k}\mathrm{g}\times 0=02\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; 0\; =\; 0$

그러므로 충돌 전 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 운동량의 합은 $v\mathrm{k}\mathrm{g}+0=v\mathrm{k}\mathrm{g}v\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; +\; 0\; =\; v\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$이다.

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(나)에서 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 운동량 구하기:

• $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 운동량:
  $1\mathrm{k}\mathrm{g}\times (-1\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})=-1\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}1\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; \backslash left(-1\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\backslash right)\; =\; -1\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}$
• $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 운동량:
  $2\mathrm{k}\mathrm{g}\times (+2\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s})=4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}2\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; \backslash left(+2\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\backslash right)\; =\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}$

그러므로 충돌 후 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 운동량의 합은 $-1\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}+4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}=3\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}-1\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}\; +\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}\; =\; 3\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}$이다.

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운동량 보존 법칙에 의해 충돌하는 물체의 운동량의 합은 충돌 전과 후가 같으므로
$v\mathrm{k}\mathrm{g}=3\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}v\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; =\; 3\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s\}$,
$v=3\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}v\; =\; 3\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$이다.

¶ 운동량이 보존되는 이유

그림과 같이 질량이 각각 $m_{\mathrm{A}}m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$, $m_{\mathrm{B}}m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$인 물체 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}1}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}1\}$, ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}1}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}1\}$의 속도로 등속도 운동을 하다가 충돌한 후 속도가 ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}2}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}2\}$, ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}2}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}2\}$가 된 상황을 생각해보자.

서로 다른 두 물체가 충돌하는 과정에서 작용·반작용 법칙에 의해 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$가 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$에 작용하는 힘과 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$에 작용하는 힘은 크기가 같고 방향은 반대이다.
그러므로 충돌하는 동안 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$에 작용하는 힘을 각각 ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{A}}\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$, ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{B}}\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$라 하고, $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 가속도를 각각 ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{A}}\backslash overrightarrow\{a\}\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$, ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{B}}\backslash overrightarrow\{a\}\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$, 충돌하는 시간을 $tt$라 하면
${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{A}}=-{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{B}}\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; -\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$,
$m_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{A}}=-m_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{a}}_{\mathrm{B}}m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\backslash overrightarrow\{a\}\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; -m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\backslash overrightarrow\{a\}\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$,
$m_{\mathrm{A}}\left({\displaystyle \frac{{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}2}-{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}1}}{t}}\right)=-m_{\mathrm{B}}\left({\displaystyle \frac{{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}2}-{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}1}}{t}}\right)m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}2\}\; -\; \backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}1\}\}\{t\}\backslash right)\; =\; -m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}2\}\; -\; \backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}1\}\}\{t\}\backslash right)$,
$m_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}1}+m_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}1}=m_{\mathrm{A}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{A}2}+m_{\mathrm{B}}{\overrightarrow{v}}_{\mathrm{B}2}m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}1\}\; +\; m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}1\}\; =\; m\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{A\}2\}\; +\; m\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\backslash overrightarrow\{v\}\_\{\backslash mathrm\{B\}2\}$이다.

이를 통해 운동량 보존 법칙이 성립함을 알 수 있다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항