그림 (가)는 질량이 2kg인 수레가 3m/s의 속력으로 마찰이 없는 수평면을 따라 등속도 운동을 하다가 벽과 충돌한 후 반대 방향으로 v의 속력으로 등속도 운동하는 모습을,
(나)는 수레가 벽으로부터 받은 힘의 크기를 시간에 따라 나타낸 것이다.
곡선과 시간 축이 만드는 면적이 8N⋅s이고 충돌 시간이 0.05s일 때, 충돌하는 동안 벽이 수레에 작용하는 평균 힘의 크기 F와 v를 구해보자.
힘−시간 그래프에서 그래프와 시간 축이 이루는 면적은 8N⋅s이며 이는 충격량의 크기와 같다.
또한 충격량은 운동량 변화량과 같으므로 충돌하는 동안 수레의 운동량 변화량의 크기는 충격량의 크기와 같은 8N⋅s이다.
평균 힘 F평균=ΔtΔp이며, 충돌 시간(Δt)은 0.05s이므로 F=0.05s8N⋅s=160N이다.
오른쪽 방향을 양(+)이라 할 때, 수레의 속도는 충돌 전이 +3m/s, 충돌 후가 −v이므로 충돌하는 동안 수레의 속도 변화의 크기는 3m/s+v, 운동량 변화량의 크기는 2kg×(3m/s+v)이다.
이때 수레의 운동량 변화량의 크기는 8N⋅s이므로 2kg×(3m/s+v)=8N⋅s, 2kg×(3m/s+v)=8kg⋅m/s, 2×(3m/s+v)=8m/s, 3m/s+v=4m/s, v=1m/s이다.
ㄱ. 오른쪽 방향을 양(+)이라 할 때, A의 속도는 충돌 전이 +2m/s, 충돌 후가 −1m/s이므로
충돌하는 동안 A의 속도 변화의 크기는 3m/s,
운동량 변화량의 크기는 2kg×3m/s=6kg⋅m/s=6N⋅s이다.
힘−시간 그래프에서 그래프와 시간 축이 이루는 면적은 충격량의 크기와 같으며,
충격량은 운동량 변화량과 같으므로 S=6N⋅s이다. (O)
ㄴ. 평균 힘 F평균=ΔtΔp이며, 충돌 시간(Δt)은 0.2s이므로
충돌하는 동안 B가 A에 작용한 평균 힘의 크기는 0.2s6N⋅s=30N이다. (O)
ㄷ. 운동량 보존 법칙을 활용하는 경우:
충돌 전 A의 운동량은 2kg×(+2m/s)=4kg⋅m/s, B의 운동량은 m×0=0이므로
충돌 전 A와 B의 운동량의 합은 4kg⋅m/s+0=4kg⋅m/s이다.
충돌 후 A의 운동량은 2kg×(−1m/s)=−2kg⋅m/s, B의 운동량은 m×(+1m/s)=mm/s이므로
충돌 후 A와 B의 운동량의 합은 mm/s−2kg⋅m/s이다.
충돌하는 물체의 운동량의 합은 충돌 전과 후가 같으므로 4kg⋅m/s=mm/s−2kg⋅m/s, 6kg⋅m/s=mm/s, m=6kg이다.
작용 반작용 법칙을 활용하는 경우:
작용 반작용 법칙에 의해 충돌하는 동안 B가 A에 작용하는 힘과 A가 B에 작용하는 힘은 크기가 같고 방향은 반대이다.
따라서 A가 받은 힘의 크기 그래프와 B가 받은 힘의 크기 그래프는 동일하게 그려진다.
이를 통해 A가 받은 힘의 크기 그래프에서 그래프와 시간 축이 만드는 면적(6N⋅s)은 B가 받은 힘의 크기 그래프에서 그래프와 시간 축이 만드는 면적과 같음을 알 수 있다.
힘−시간 그래프에서 그래프와 시간 축이 이루는 면적 6N⋅s은 충격량의 크기와 같으며,
충격량은 운동량 변화량과 같으므로 충돌하는 동안 B의 운동량 변화량의 크기는 6N⋅s이다.
이를 식으로 나타내면 m×1m/s=6N⋅s, mm/s=6N⋅s, mm/s=6kg⋅m/s, m=6kg이다. (O)
