해당 지식
두 물체의 충돌 전후 상대 속도 크기의 비로 나타내는 반발 계수와 탄성, 비탄성, 완전 비탄성 충돌의 종류를 설명합니다.
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반발 계수

¶ 지식 정보

해당 지식
두 물체의 충돌 전후 상대 속도 크기의 비로 나타내는 반발 계수와 탄성, 비탄성, 완전 비탄성 충돌의 종류를 설명합니다.
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¶ 반발 계수

두 물체가 충돌할 때 $\dfrac{\text{충돌 후 상대 속도의 크기}}{\text{충돌 전 상대 속도의 크기}}$ 인 물리량이다.
기호로 $e$ 로 나타내고, 단위는 없다.

¶ 반발 계수 예시

그림 (가)는 마찰이 없는 수평면에서 물체 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 서로를 향해 각각 $v$ , $1\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 등속도 운동하는 것을,
(나)는 (가)에서 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 충돌한 후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 속력이 각각 $1\,\mathrm{m/s}$ , $3\,\mathrm{m/s}$ 인 모습을 나타낸 것이다.
$\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 질량이 각각 $2\,\mathrm{kg}$ , $1\,\mathrm{kg}$ 일 때, $v$ 와 반발 계수 $e$ 를 구해보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)

오른쪽 방향을 양 $(+)$ 이라 할 때, (가)에서 충돌 전 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동량의 합은
$2\,\mathrm{kg} \times v + 1\,\mathrm{kg} \times (-1\,\mathrm{m/s})$ ,
$2v\,\mathrm{kg} - 1\,\mathrm{kg·m/s}$ 이다.

충돌 후 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동량의 합은
$2\,\mathrm{kg} \times 1\,\mathrm{m/s} + 1\,\mathrm{kg} \times 3\,\mathrm{m/s}$ ,
$2\,\mathrm{kg·m/s} + 3\,\mathrm{kg·m/s} = 5\,\mathrm{kg·m/s}$ 이다.

충돌하는 물체의 운동량의 합은 운동량 보존 법칙에 의해 충돌 전과 후가 같으므로
$2v\,\mathrm{kg} - 1\,\mathrm{kg·m/s} = 5\,\mathrm{kg·m/s}$ ,
$v = 3\,\mathrm{m/s}$ 이다.

충돌 전과 충돌 후의 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 상대 속도를 구해보자.

$\mathrm{A}$ 가 관찰자인 경우:
$\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}}$ 이므로
충돌 전이 $-1\,\mathrm{m/s} - 3\,\mathrm{m/s} = -4\,\mathrm{m/s}$ 이고, 충돌 후가 $3\,\mathrm{m/s} - 1\,\mathrm{m/s} = 2\,\mathrm{m/s}$ 이다.

$\mathrm{B}$ 가 관찰자인 경우:
$\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ 이므로
충돌 전이 $3\,\mathrm{m/s} - (-1\,\mathrm{m/s}) = 4\,\mathrm{m/s}$ 이고, 충돌 후가 $1\,\mathrm{m/s} - 3\,\mathrm{m/s} = -2\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 상대 속도의 크기는 충돌 전이 $4\,\mathrm{m/s}$ 이고, 충돌 후가 $2\,\mathrm{m/s}$ 이다.

따라서 반발 계수 $e = \dfrac{\text{충돌 후 상대 속도의 크기}}{\text{충돌 전 상대 속도의 크기}} = \dfrac{2\,\mathrm{m/s}}{4\,\mathrm{m/s}} = \dfrac{1}{2}$ 이다.

¶ 충돌의 종류

반발 계수 $e$ 의 값에 따라 탄성 충돌, 비탄성 충돌, 완전 비탄성 충돌로 나뉜다.

¶ 탄성 충돌

$e = 1$ 일 때의 충돌이다.
운동 에너지의 손실이 일어나지 않으므로 충돌 전후 물체의 운동 에너지의 합이 같다.

¶ 비탄성 충돌

$0 < e < 1$ 일 때의 충돌이다.
운동 에너지의 손실이 일어나며, 충돌로 한 덩어리로 합쳐지지 않는다.

¶ 완전 비탄성 충돌

$e = 0$ 일 때의 충돌이다.
운동 에너지의 손실이 일어나며, 충돌로 한 덩어리로 합쳐진다.

¶ 충돌의 종류 예시

그림은 마찰이 없는 $x y$ 평면에서 $2\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 등속도 운동하던 물체 $\mathrm{A}$ 가 원점에 정지해 있는 물체 $\mathrm{B}$ 와 충돌한 것을 나타낸 것이다.
충돌 후 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 $x$ 축과 각각 $60^{\circ}$ , $30^{\circ}$ 의 각을 이루며 운동하고, $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 속력은 각각 $v_{\mathrm{A}}$ , $v_{\mathrm{B}}$ 이다.
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 질량이 $1\,\mathrm{kg}$ 으로 같을 때, $v_{\mathrm{A}}$ , $v_{\mathrm{B}}$ 를 구하고 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 어떤 충돌을 했는지 확인해보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)

질량이 같은 두 물체 A와 B의 충돌 전후 속도 벡터와 진행 방향을 나타낸 좌표 diagram

축 방향을 양 $(+)$ 으로 할 때, 충돌 전후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.

구분	물체	$x$ 성분	$y$ 성분
충돌 전	$\mathrm{A}$	$2\,\mathrm{kg·m/s}$	$0$
충돌 전	$\mathrm{B}$	$0$	$0$
충돌 후	$\mathrm{A}$	$v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg} \times \cos{60^{\circ}}$ $= \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg}$	$v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg} \times \sin{60^{\circ}}$ $= \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg}$
충돌 후	$\mathrm{B}$	$v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg} \times \cos{30^{\circ}}$ $= \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$	$-v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg} \times \sin{30^{\circ}}$ $= -\dfrac{1}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$

운동량 보존 법칙을 $x$ , $y$ 성분에 각각 적용한다.

$x$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$2\,\mathrm{kg·m/s} = \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ ⋯①
$y$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$0 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg} - \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ ,
$v_{\mathrm{B}} = \sqrt{3}\,v_{\mathrm{A}}$ ⋯②이다.

이를 ①에 넣으면
$2\,\mathrm{kg·m/s} = \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ ⋯①에서
$2\,\mathrm{kg·m/s} = \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}\,v_{\mathrm{A}}\,\mathrm{kg}$ ,
$v_{\mathrm{A}} = 1\,\mathrm{m/s}$ 이다.

이를 ②에 넣으면
$v_{\mathrm{B}} = \sqrt{3}\,v_{\mathrm{A}}$ ⋯②에서
$v_{\mathrm{B}} = \sqrt{3} \times 1\,\mathrm{m/s}$ ,
$v_{\mathrm{B}} = \sqrt{3}\,\mathrm{m/s}$ 이다.

충돌 전 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동 에너지의 합은
$\dfrac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times (2\,\mathrm{m/s})^{2} + \dfrac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times (0\,\mathrm{m/s})^{2} ={}$ $2\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $2\,\mathrm{J}$ 이다.

충돌 후 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동 에너지의 합은
$\dfrac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times (1\,\mathrm{m/s})^{2} + \dfrac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times (\sqrt{3}\,\mathrm{m/s})^{2} ={}$ $2\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $2\,\mathrm{J}$ 이다.

충돌 전후 물체의 운동 에너지의 합이 같으므로 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 탄성 충돌을 하였다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

¶ 2번 문항

마찰 없는 xy 평면에서 30도 방향으로 탄성 충돌하는 두 물체의 속력과 질량 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $5$

ㄱ. 축 방향을 양 $(+)$ 으로 할 때, 충돌 전후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.

구분	물체	$x$ 성분	$y$ 성분
충돌 전	$\mathrm{A}$	$MV$	$0$
충돌 전	$\mathrm{B}$	$0$	$0$
충돌 후	$\mathrm{A}$	$2M\,\mathrm{m/s} \times \cos{30^{\circ}}$ $= \sqrt{3}M\,\mathrm{m/s}$	$2M\,\mathrm{m/s} \times \sin{30^{\circ}}$ $= M\,\mathrm{m/s}$
충돌 후	$\mathrm{B}$	$v\,\mathrm{kg} \times \cos{30^{\circ}}$ $= \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\,\mathrm{kg}$	$-v\,\mathrm{kg} \times \sin{30^{\circ}}$ $= -\dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg}$

운동량 보존 법칙을 $x$ , $y$ 성분에 각각 적용한다.

$x$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$MV = \sqrt{3}M\,\mathrm{m/s} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\,\mathrm{kg}$ ⋯①
$y$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$0 = M\,\mathrm{m/s} - \dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg}$ ,
$M = \dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg·s/m}$ ⋯②이다.

이를 ①에 넣으면
$MV = \sqrt{3}M\,\mathrm{m/s} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\,\mathrm{kg}$ ⋯①에서
$\dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg·s/m} \times V = \sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}v\,\mathrm{kg}$ ,
$V = 2\sqrt{3}\,\mathrm{m/s}$ 이다. (O)

ㄴ. 충돌 전 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동 에너지의 합은
$\dfrac{1}{2} \times M \times (2\sqrt{3}\,\mathrm{m/s})^{2} + \dfrac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times (0\,\mathrm{m/s})^{2}$ ,
$6M\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}$ 이다.

충돌 후 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동 에너지의 합은
$\dfrac{1}{2} \times M \times (2\,\mathrm{m/s})^{2} + \dfrac{1}{2} \times 1\,\mathrm{kg} \times v^{2}$ ,
$2M\,\mathrm{m^{2}/s^{2}} + \dfrac{1}{2}v^{2}\,\mathrm{kg}$ 이다.

탄성 충돌을 하므로 충돌 전후 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 운동 에너지의 합이 같다. 그러므로
$6M\,\mathrm{m^{2}/s^{2}} = 2M\,\mathrm{m^{2}/s^{2}} + \dfrac{1}{2}v^{2}\,\mathrm{kg}$ ,
$M = \dfrac{1}{8}v^{2}\,\mathrm{kg·s^{2}/m^{2}}$ 이다.

이를 ②에 넣으면
$M = \dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg·s/m}$ ⋯②에서
$\dfrac{1}{8}v^{2}\,\mathrm{kg·s^{2}/m^{2}} = \dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg·s/m}$ ,
$v = 4\,\mathrm{m/s}$ 이다. (O)

ㄷ. $v = 4\,\mathrm{m/s}$ 를 ②에 넣으면
$M = \dfrac{1}{2}v\,\mathrm{kg·s/m}$ ⋯②에서
$M = \dfrac{1}{2} \times 4\,\mathrm{m/s} \times \mathrm{kg·s/m}$ ,
$M = 2\,\mathrm{kg}$ 이다. (O)

따라서 정답은 $5$ 번이다.