두 물체가 충돌할 때 충돌 후 상대 속도의 크기 충돌 전 상대 속도의 크기 충돌 전 상대 속도의 크기 충돌 후 상대 속도의 크기 e e
그림 (가)는 마찰이 없는 수평면에서 물체 A A B B v v 1 m / s 1 m / s 속력 으로 등속도 운동 하는 것을,A A B B A A B B 속력 이 각각 1 m / s 1 m / s 3 m / s 3 m / s A A B B 질량 이 각각 2 k g 2 k g 1 k g 1 k g v v 반발 계수 e e
오른쪽 방향을 양( + ) ( + ) A A B B 운동량 의 합은2 k g × v + 1 k g × ( − 1 m / s ) 2 k g × v + 1 k g × ( − 1 m / s ) 2 v k g − 1 k g ⋅ m / s 2 v k g − 1 k g ⋅ m / s
충돌 후 A A B B 운동량 의 합은2 k g × 1 m / s + 1 k g × 3 m / s 2 k g × 1 m / s + 1 k g × 3 m / s 2 k g ⋅ m / s + 3 k g ⋅ m / s = 5 k g ⋅ m / s 2 k g ⋅ m / s + 3 k g ⋅ m / s = 5 k g ⋅ m / s
충돌하는 물체의 운동량 의 합은 운동량 보존 법칙 에 의해 충돌 전과 후가 같으므로2 v k g − 1 k g ⋅ m / s = 5 k g ⋅ m / s 2 v k g − 1 k g ⋅ m / s = 5 k g ⋅ m / s v = 3 m / s v = 3 m / s
충돌 전과 충돌 후의 A A B B 상대 속도 를 구해보자:
A A A A B B 속도 는 v B − v A v B − v A − 1 m / s − 3 m / s = − 4 m / s − 1 m / s − 3 m / s = − 4 m / s 3 m / s − 1 m / s = 2 m / s 3 m / s − 1 m / s = 2 m / s
B B B B A A 속도 는 v A − v B v A − v B 3 m / s − ( − 1 m / s ) = 4 m / s 3 m / s − ( − 1 m / s ) = 4 m / s 1 m / s − 3 m / s = − 2 m / s 1 m / s − 3 m / s = − 2 m / s
그러므로 A A B B 상대 속도 의 크기는 충돌 전이 4 m / s 4 m / s 2 m / s 2 m / s
따라서 반발 계수 e = e = 충돌 후 상대 속도의 크기 충돌 전 상대 속도의 크기 = 충돌 전 상대 속도의 크기 충돌 후 상대 속도의 크기 = 2 m / s 4 m / s = 4 m / s 2 m / s = 1 2 2 1
반발 계수 e e 탄성 충돌 , 비탄성 충돌 , 완전 비탄성 충돌 로 나뉜다.
e = 1 e = 1 에너지 의 손실이 일어나지 않으므로 충돌 전후 물체의 운동 에너지 의 합이 같다.
0 < e < 1 0 < e < 1 에너지 의 손실이 일어나며, 충돌로 한 덩어리로 합쳐지지 않는다.
e = 0 e = 0 에너지 의 손실이 일어나며, 충돌로 한 덩어리로 합쳐진다.
그림은 마찰이 없는 x y x y 2 m / s 2 m / s 속력 으로 등속도 운동 하던 물체 A A B B A A B B x x 6 0 ∘ 6 0 ∘ 3 0 ∘ 3 0 ∘ A A B B 속력 은 각각 v A v A v B v B A A B B 질량 이 1 k g 1 k g v A v A v B v B A A B B
축 방향을 양( + ) ( + ) A A B B 운동량 을 x x y y
운동량 보존 법칙 을 x x y y
x x 운동량 보존 법칙 적용:2 k g ⋅ m / s = 1 2 v A k g + 3 2 v B k g 2 k g ⋅ m / s = 2 1 v A k g + 2 3 v B k g
y y 운동량 보존 법칙 적용:0 = 3 2 v A k g − 1 2 v B k g 0 = 2 3 v A k g − 2 1 v B k g v B = 3 v A v B = 3 v A
이를 ①에 넣으면2 k g ⋅ m / s = 1 2 v A k g + 3 2 v B k g 2 k g ⋅ m / s = 2 1 v A k g + 2 3 v B k g 2 k g ⋅ m / s = 1 2 v A k g + 3 2 × 3 v A k g 2 k g ⋅ m / s = 2 1 v A k g + 2 3 × 3 v A k g v A = 1 m / s v A = 1 m / s
이를 ②에 넣으면 v B = 3 v A v B = 3 v A v B = 3 × 1 m / s v B = 3 × 1 m / s v B = 3 m / s v B = 3 m / s
충돌 전 A A B B 에너지 의 합은1 2 × 1 k g × ( 2 m / s ) 2 + 1 2 × 1 k g × ( 0 m / s ) 2 2 1 × 1 k g × ( 2 m / s ) 2 + 2 1 × 1 k g × ( 0 m / s ) 2 2 k g ⋅ m 2 / s 2 = 2 k g ⋅ m 2 / s 2 = 2 J 2 J
충돌 후 A A B B 에너지 의 합은1 2 × 1 k g × ( 1 m / s ) 2 + 1 2 × 1 k g × ( 3 m / s ) 2 2 1 × 1 k g × ( 1 m / s ) 2 + 2 1 × 1 k g × ( 3 m / s ) 2 2 k g ⋅ m 2 / s 2 = 2 k g ⋅ m 2 / s 2 = 2 J 2 J
충돌 전후 물체의 운동 에너지 의 합이 같으므로 A A B B 탄성 충돌 을 하였다.
1번 문항 정답 및 해설 보기
정답: $4$
ㄱ. A A B B 완전 비탄성 충돌 을 한다. (O)
ㄴ. 오른쪽 방향을 양( + ) ( + ) A A B B 운동량 의 합은4 k g × 7 m / s + M × ( − 3 m / s ) 4 k g × 7 m / s + M × ( − 3 m / s ) 28 k g ⋅ m / s − 3 M m / s 2 8 k g ⋅ m / s − 3 M m / s
충돌 후 A A B B 운동량 의 합은( 4 k g + M ) × 1 m / s ( 4 k g + M ) × 1 m / s ( 4 k g + M ) m / s ( 4 k g + M ) m / s
충돌하는 물체의 운동량 의 합은 운동량 보존 법칙 에 의해 충돌 전과 후가 같으므로28 k g ⋅ m / s − 3 M m / s = ( 4 k g + M ) m / s 2 8 k g ⋅ m / s − 3 M m / s = ( 4 k g + M ) m / s M = 6 k g M = 6 k g
ㄷ. 충돌 전 A A B B 에너지 의 합은1 2 × 4 k g × ( 7 m / s ) 2 + 1 2 × 6 k g × ( 3 m / s ) 2 2 1 × 4 k g × ( 7 m / s ) 2 + 2 1 × 6 k g × ( 3 m / s ) 2 125 k g ⋅ m 2 / s 2 = 1 2 5 k g ⋅ m 2 / s 2 = 125 J 1 2 5 J
충돌 후 A A B B 에너지 의 합은1 2 × ( 4 k g + 6 k g ) × ( 1 m / s ) 2 2 1 × ( 4 k g + 6 k g ) × ( 1 m / s ) 2 5 k g ⋅ m 2 / s 2 = 5 k g ⋅ m 2 / s 2 = 5 J 5 J
그러므로 A A B B 에너지 는 125 J − 5 J = 120 J 1 2 5 J − 5 J = 1 2 0 J
따라서 정답은 4 4
2번 문항 정답 및 해설 보기
정답: $5$
ㄱ. 축 방향을 양( + ) ( + ) A A B B 운동량 을 x x y y
운동량 보존 법칙 을 x x y y
x x 운동량 보존 법칙 적용:M V = 3 M m / s + 3 2 v k g M V = 3 M m / s + 2 3 v k g
y y 운동량 보존 법칙 적용:0 = M m / s − 1 2 v k g 0 = M m / s − 2 1 v k g M = 1 2 v k g ⋅ s / m M = 2 1 v k g ⋅ s / m
이를 ①에 넣으면M V = 3 M m / s + 3 2 v k g M V = 3 M m / s + 2 3 v k g 1 2 v k g ⋅ s / m × V = 3 × 1 2 v k g + 3 2 v k g 2 1 v k g ⋅ s / m × V = 3 × 2 1 v k g + 2 3 v k g V = 2 3 m / s V = 2 3 m / s
ㄴ. 충돌 전 A A B B 에너지 의 합은1 2 × M × ( 2 3 m / s ) 2 + 1 2 × 1 k g × ( 0 ) 2 2 1 × M × ( 2 3 m / s ) 2 + 2 1 × 1 k g × ( 0 ) 2 6 M m 2 / s 2 6 M m 2 / s 2
충돌 후 A A B B 에너지 의 합은1 2 × M × ( 2 m / s ) 2 + 1 2 × 1 k g × v 2 2 1 × M × ( 2 m / s ) 2 + 2 1 × 1 k g × v 2 2 M m 2 / s 2 + 1 2 v 2 k g 2 M m 2 / s 2 + 2 1 v 2 k g
탄성 충돌 을 하므로 충돌 전후 A A B B 에너지 의 합이 같다. 그러므로6 M m 2 / s 2 = 2 M m 2 / s 2 + 1 2 v 2 k g 6 M m 2 / s 2 = 2 M m 2 / s 2 + 2 1 v 2 k g M = 1 8 v 2 k g ⋅ s 2 / m 2 M = 8 1 v 2 k g ⋅ s 2 / m 2
이를 ②에 넣으면M = 1 2 v k g ⋅ s / m M = 2 1 v k g ⋅ s / m 1 8 v 2 k g ⋅ s 2 / m 2 = 1 2 v k g ⋅ s / m 8 1 v 2 k g ⋅ s 2 / m 2 = 2 1 v k g ⋅ s / m v = 4 m / s v = 4 m / s
ㄷ. v = 4 m / s v = 4 m / s M = 1 2 v k g ⋅ s / m M = 2 1 v k g ⋅ s / m M = 2 k g M = 2 k g
따라서 정답은 5 5
