정답: $2$

• $E_{1}E\_\{1\}$ 구하기:

양$(+)(+)$전하가 분포된 구와 중심이 같고, 반지름이 $RR$인 구가 있다고 해보자.

전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 $QQ$, 부피가 $VV$인 물체의 부피 전하 밀도 $\rho ={\displaystyle \frac{Q}{V}}\backslash rho\; =\; \backslash dfrac\{Q\}\{V\}$,
$Q=\rho VQ\; =\; \backslash rho\; V$이므로 구 내부 모든 전하량의 합은 $\rho \times {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \rho R^3\backslash rho\; \backslash times\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash pi\; R^\{3\}\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^\{3\}$이다.

구의 겉넓이를 $AA$, 공간의 유전율을 $\epsilon \backslash varepsilon$이라 하면 가우스 법칙 ${\mathrm{\Phi }}_E=\backslash Phi\_\{E\}\; =\{\}$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=}\backslash displaystyle\backslash oint\backslash overrightarrow\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash overrightarrow\{A\}\; =\{\}$$EA=EA\; =\{\}$${\displaystyle \frac{Q_{\text{내부}}}{\epsilon }}\backslash dfrac\{Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\}\{\backslash varepsilon\}$에서
$Q_{\text{내부}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \rho R^{3}Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^\{3\}$이고, $A=4\pi R^{2}A\; =\; 4\backslash pi\; R^\{2\}$이므로
$E_1\times 4\pi R^2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \rho R^3}{\epsilon }}E\_\{1\}\; \backslash times\; 4\backslash pi\; R^\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^\{3\}\}\{\backslash varepsilon\}$,
$E_1={\displaystyle \frac{\rho R}{3\epsilon }}E\_\{1\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash rho\; R\}\{3\backslash varepsilon\}$이다.

• $E_{2}E\_\{2\}$ 구하기:

양$(+)(+)$전하가 분포된 구와 중심이 같고, 반지름이 $4R4R$인 구가 있다고 해보자.

전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 $QQ$, 부피가 $VV$인 물체의 부피 전하 밀도 $\rho ={\displaystyle \frac{Q}{V}}\backslash rho\; =\; \backslash dfrac\{Q\}\{V\}$,
$Q=\rho VQ\; =\; \backslash rho\; V$이므로 구 내부 모든 전하량의 합(반지름이 $2R2R$인 구의 전하량)은 $\rho \times {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times (2R{)}^3=\backslash rho\; \backslash times\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash pi\; \backslash times\; (2R)^\{3\}\; =\{\}$$\rho \times {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 8R^3=\backslash rho\; \backslash times\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash pi\; \backslash times\; 8R^\{3\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{32}{3}}\pi \rho R^3\backslash dfrac\{32\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^\{3\}$이다.

구의 겉넓이를 $AA$, 공간의 유전율을 $\epsilon \backslash varepsilon$이라 하면 가우스 법칙 ${\mathrm{\Phi }}_E=\backslash Phi\_\{E\}\; =\{\}$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=}\backslash displaystyle\backslash oint\backslash overrightarrow\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash overrightarrow\{A\}\; =\{\}$$EA=EA\; =\{\}$${\displaystyle \frac{Q_{\text{내부}}}{\epsilon }}\backslash dfrac\{Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\}\{\backslash varepsilon\}$에서
$Q_{\text{내부}}={\displaystyle \frac{32}{3}}\pi \rho R^{3}Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\; =\; \backslash dfrac\{32\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^\{3\}$이고, $A=A\; =\{\}$$4\pi \times (4R{)}^2=4\backslash pi\; \backslash times\; (4R)^\{2\}\; =\{\}$$4\pi \times 16R^2=4\backslash pi\; \backslash times\; 16R^\{2\}\; =\{\}$$64\pi R^{2}64\backslash pi\; R^\{2\}$이므로
$E_2\times 64\pi R^2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{32}{3}}\pi \rho R^3}{\epsilon }}E\_\{2\}\; \backslash times\; 64\backslash pi\; R^\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash dfrac\{32\}\{3\}\backslash pi\backslash rho\; R^\{3\}\}\{\backslash varepsilon\}$,
$E_2={\displaystyle \frac{\rho R}{6\epsilon }}E\_\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash rho\; R\}\{6\backslash varepsilon\}$이다.

그러므로 ${\displaystyle \frac{E_1}{E_2}}=\backslash dfrac\{E\_\{1\}\}\{E\_\{2\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\rho R}{3\epsilon }}}{{\displaystyle \frac{\rho R}{6\epsilon }}}}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{\backslash rho\; R\}\{3\backslash varepsilon\}\}\{\backslash dfrac\{\backslash rho\; R\}\{6\backslash varepsilon\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{\rho R}{3\epsilon }}\times {\displaystyle \frac{6\epsilon }{\rho R}}=\backslash dfrac\{\backslash rho\; R\}\{3\backslash varepsilon\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{6\backslash varepsilon\}\{\backslash rho\; R\}\; =\{\}$$22$이다.

따라서 정답은 $22$번이다.

정답: $1$

• $r\le Rr\; \backslash leq\; R$일 때 $EE$ 구하기:

구 껍질과 중심이 같고, 반지름이 $RR$보다 작거나 같은 구가 있다고 해보자.

전하는 구 껍질에만 분포하므로 내부 모든 전하량의 합은 $00$이다.

구의 겉넓이를 $AA$라 하면 가우스 법칙 ${\mathrm{\Phi }}_E=\backslash Phi\_\{E\}\; =\{\}$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=}\backslash displaystyle\backslash oint\backslash overrightarrow\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash overrightarrow\{A\}\; =\{\}$$EA=EA\; =\{\}$${\displaystyle \frac{Q_{\text{내부}}}{{\epsilon }_0}}\backslash dfrac\{Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\}\{\backslash varepsilon\_\{0\}\}$에서
$Q_{\text{내부}}=0Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\; =\; 0$이므로 $EA=0EA\; =\; 0$, $E=0E\; =\; 0$이다.

그러므로 $r\le Rr\; \backslash leq\; R$일 때 $E=0E\; =\; 0$이다.

• $r>Rr\; >\; R$일 때 $EE$ 구하기:

구 껍질과 중심이 같고, 반지름이 $RR$보다 큰 구가 있다고 해보자.

전하는 반지름이 $RR$보다 큰 구의 내부에 있으므로 내부 모든 전하량의 합은 $qq$이다.

구의 겉넓이를 $AA$라 하면 가우스 법칙 ${\mathrm{\Phi }}_E=\backslash Phi\_\{E\}\; =\{\}$${\displaystyle \oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=}\backslash displaystyle\backslash oint\backslash overrightarrow\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash overrightarrow\{A\}\; =\{\}$$EA=EA\; =\{\}$${\displaystyle \frac{Q_{\text{내부}}}{{\epsilon }_0}}\backslash dfrac\{Q\_\{\backslash text\{내부\}\}\}\{\backslash varepsilon\_\{0\}\}$에서
$Q_{\text{내부}}=qQ\_\{\backslash text\{내부\}\}\; =\; q$이고, $A=4\pi r^{2}A\; =\; 4\backslash pi\; r^\{2\}$이므로
$E\times 4\pi r^2={\displaystyle \frac{q}{{\epsilon }_0}}E\; \backslash times\; 4\backslash pi\; r^\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{q\}\{\backslash varepsilon\_\{0\}\}$,
$E={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}E\; =\; \backslash dfrac\{q\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_\{0\}r^\{2\}\}$이다.

그러므로 $r>Rr\; >\; R$일 때 $E={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}E\; =\; \backslash dfrac\{q\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_\{0\}r^\{2\}\}$이다.

$r\le Rr\; \backslash leq\; R$일 때 $E=0E\; =\; 0$이고, $r>Rr\; >\; R$일 때 $E={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}E\; =\; \backslash dfrac\{q\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_\{0\}r^\{2\}\}$이므로 $EE$를 $rr$에 따라 나타낸 그래프는 아래 그림과 같다.

따라서 정답은 $11$번이다.