단위 길이(1m)당 전하량이다.
기호로 λ로 나타내고, 단위는 주로 C/m를 사용한다.
전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 Q, 길이가 L인 아주 얇은 도선의 선 전하 밀도 λ=LQ이다.
단위 면적(1m2)당 전하량이다.
기호로 σ로 나타내고, 단위는 주로 C/m2을 사용한다.
전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 Q, 면적이 A인 아주 얇은 금속판 또는 도체 표면의 표면 전하 밀도 σ=AQ이다.
단위 부피(1m3)당 전하량이다.
기호로 ρ로 나타내고, 단위는 주로 C/m3을 사용한다.
전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 Q, 부피가 V인 물체의 부피 전하 밀도 ρ=VQ이다.
진공에 있는 폐곡면(닫힌 곡면) 위의 작은 면 조각마다, 미소 면적 벡터 dA는 그 넓이를 크기로 하고 면에 수직으로 나가는 방향을 갖는 벡터이고, Q내부는 폐곡면 내부 모든 전하량의 합일 때, ΦE=∮E⋅dA=ε0Q내부이다.
진공이 아닌 경우 ε0 대신 물질의 유전율 ε을 활용한다.
- 아래 그림과 같이 점전하를 중심으로 하는 구 표면(폐곡면)인 경우:
폐곡면의 각 지점(작은 면 조각)에서 전기장의 세기가 같고 전기장의 방향이 면에 수직이므로
곡면의 전체 넓이를 A라 하면 ∮E⋅dA=∮EdA=E∮dA=EA로 나타낼 수 있다.
∘ 가우스 법칙을 통해 점전하가 만드는 전기장의 세기를 구하는 경우:
전하량이 q인 점전하가 고정되어 있을 때, 점전하로부터의 거리가 r인 지점에서 전기장의 세기 E를 가우스 법칙을 통해 구해보자. (단, 점전하를 제외한 공간은 진공이다.)
아래 그림과 같이 점전하가 중심이고 반지름이 r인 구가 있다고 할 때, 구 내부 모든 전하량의 합은 q이다.
구의 겉넓이를 A라 하면 가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=EA=ε0Q내부에서
Q내부=q이고, A=4πr2이므로
E×4πr2=ε0q,
E=4πε0r2q이다.
쿨롱 상수 k=4πε01이므로
E=4πε0r2q=kr2q이다.
∘ 가우스 법칙을 통해 폐곡면을 통과하는 전기선속을 구하는 경우:
그림과 같이 전하량이 각각 +q, −3q인 점전하 A, B가 고정되어 있고, 폐곡면 S1은 A를, 폐곡면 S2는 A와 B를 감싸고 있다.
S1, S2를 통과하는 전기선속이 각각 Φ1, Φ2일 때, Φ1과 Φ2를 구해보자.
- Φ1 구하기:
가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=ε0Q내부에서
S1 내부 모든 전하량의 합은 +q이므로 Q내부=+q이다.
따라서 Φ1=ε0q이다.
- Φ2 구하기:
가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=ε0Q내부에서
S2 내부 모든 전하량의 합은 +q−3q=−2q이므로 Q내부=−2q이다.
따라서 Φ2=ε0−2q이다.
정답: $2$
양(+)전하가 분포된 구와 중심이 같고, 반지름이 R인 구가 있다고 해보자.
전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 Q, 부피가 V인 물체의 부피 전하 밀도 ρ=VQ,
Q=ρV이므로 구 내부 모든 전하량의 합은 ρ×34πR3=34πρR3이다.
구의 겉넓이를 A, 공간의 유전율을 ε이라 하면 가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=EA=εQ내부에서
Q내부=34πρR3이고, A=4πR2이므로
E1×4πR2=ε34πρR3,
E1=3ερR이다.
양(+)전하가 분포된 구와 중심이 같고, 반지름이 4R인 구가 있다고 해보자.
전하가 균일하게 퍼져 있을 때, 전하량이 Q, 부피가 V인 물체의 부피 전하 밀도 ρ=VQ,
Q=ρV이므로 구 내부 모든 전하량의 합(반지름이 2R인 구의 전하량)은 ρ×34π×(2R)3=ρ×34π×8R3=332πρR3이다.
구의 겉넓이를 A, 공간의 유전율을 ε이라 하면 가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=EA=εQ내부에서
Q내부=332πρR3이고, A=4π×(4R)2=4π×16R2=64πR2이므로
E2×64πR2=ε332πρR3,
E2=6ερR이다.
그러므로 E2E1=6ερR3ερR=3ερR×ρR6ε=2이다.
따라서 정답은 2번이다.
정답: $1$
- r≤R일 때 E 구하기:
구 껍질과 중심이 같고, 반지름이 R보다 작거나 같은 구가 있다고 해보자.
전하는 구 껍질에만 분포하므로 내부 모든 전하량의 합은 0이다.
구의 겉넓이를 A라 하면 가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=EA=ε0Q내부에서
Q내부=0이므로 EA=0, E=0이다.
그러므로 r≤R일 때 E=0이다.
구 껍질과 중심이 같고, 반지름이 R보다 큰 구가 있다고 해보자.
전하는 반지름이 R보다 큰 구의 내부에 있으므로 내부 모든 전하량의 합은 q이다.
구의 겉넓이를 A라 하면 가우스 법칙 ΦE=∮E⋅dA=EA=ε0Q내부에서
Q내부=q이고, A=4πr2이므로
E×4πr2=ε0q,
E=4πε0r2q이다.
그러므로 r>R일 때 E=4πε0r2q이다.
r≤R일 때 E=0이고, r>R일 때 E=4πε0r2q이므로 E를 r에 따라 나타낸 그래프는 아래 그림과 같다.
따라서 정답은 1번이다.
