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천체가 단위 시간당 방출하는 에너지양인 광도와 흑체의 표면 온도에 따른 슈테판·볼츠만 법칙, 별의 반지름에 따른 광도를 설명합니다.
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광도와 슈테판·볼츠만 법칙

¶ 지식 정보

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천체가 단위 시간당 방출하는 에너지양인 광도와 흑체의 표면 온도에 따른 슈테판·볼츠만 법칙, 별의 반지름에 따른 광도를 설명합니다.
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¶ 광도

천체가 단위 시간 $(1\,\mathrm{s})$ 당 방출하는 에너지양이다.
광도는 기호로 $L$ 로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{W} = \mathrm{J/s}$ 를 사용한다.

태양의 광도는 기호로 $L_{\odot}$ 로 나타낸다.

¶ 슈테판·볼츠만 법칙

슈테판·볼츠만 상수를 $\sigma$ , 흑체의 표면 온도를 $T$ 라 할 때,
흑체가 단위 시간 $(1\,\mathrm{s})$ 당 단위 면적 $(1\,\mathrm{m^{2}})$ 에서 방출하는 에너지양은 $E = \sigma T^{4}$ 이다. ( $\sigma = 5.670 \times 10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ )

¶ 별의 광도

별은 흑체와 비슷하게 복사하므로 슈테판·볼츠만 상수를 $\sigma$ , 별의 표면 온도를 $T$ 라 할 때, $E = \sigma T^{4}$ 을 만족한다.

별의 반지름을 $R$ 이라 할 때, 별의 표면적은 $4\pi R^{2}$ 이므로
단위 시간 $(1\,\mathrm{s})$ 당 단위 면적 $(1\,\mathrm{m^{2}})$ 에서 방출하는 에너지양인 $\sigma T^{4}$ 에 별의 표면적인 $4\pi R^{2}$ 을 곱하면
별의 광도는 $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$ 임을 알 수 있다.

¶ 별의 광도 예시

표는 별 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 물리량을 나타낸 것이다. $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 광도를 각각 $L_{\mathrm{A}}$ , $L_{\mathrm{B}}$ 라 할 때, $\dfrac{L_{\mathrm{A}}}{L_{\mathrm{B}}}$ 를 구해보자.

별	표면 온도$(\mathrm{K})$	반지름(태양 $= 1$)
$\mathrm{A}$	$5000$	$2$
$\mathrm{B}$	$10000$	$1$

슈테판·볼츠만 상수를 $\sigma$ , 별의 반지름을 $R$ , 별의 표면 온도를 $T$ 라 할 때, 광도는 $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$ 이다.

$\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 반지름을 각각 $R_{\mathrm{A}}$ , $R_{\mathrm{B}}$ 라 하고, $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 표면 온도를 각각 $T_{\mathrm{A}}$ , $T_{\mathrm{B}}$ 라 하면
$\dfrac{L_{\mathrm{A}}}{L_{\mathrm{B}}} = \dfrac{4\pi R_{\mathrm{A}}^{\,2}\sigma T_{\mathrm{A}}^{\,4}}{4\pi R_{\mathrm{B}}^{\,2}\sigma T_{\mathrm{B}}^{\,4}} = \dfrac{R_{\mathrm{A}}^{\,2}T_{\mathrm{A}}^{\,4}}{R_{\mathrm{B}}^{\,2}T_{\mathrm{B}}^{\,4}}$ 이다.

태양의 반지름을 $R_{\odot}$ 이라 하면, $R_{\mathrm{A}} = 2R_{\odot}$ , $R_{\mathrm{B}} = R_{\odot}$ 이므로
$\dfrac{L_{\mathrm{A}}}{L_{\mathrm{B}}} ={}$ $\dfrac{R_{\mathrm{A}}^{\,2}T_{\mathrm{A}}^{\,4}}{R_{\mathrm{B}}^{\,2}T_{\mathrm{B}}^{\,4}} ={}$ $\dfrac{(2R_{\odot})^{2} \times (5000\,\mathrm{K})^{4}}{R_{\odot}^{\,2}(10000\,\mathrm{K})^{4}} ={}$ $\dfrac{2^{2}R_{\odot}^{\,2} \times (5000\,\mathrm{K})^{4}}{R_{\odot}^{\,2}(10000\,\mathrm{K})^{4}} ={}$ $\dfrac{1}{4}$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $4$

ㄱ. 슈테판·볼츠만 상수를 $\sigma$ , 별의 반지름을 $R$ , 별의 표면 온도를 $T$ 라 할 때, 광도는 $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$ 이다.

그러므로 태양의 광도, 반지름, 표면 온도를 각각 $L_{\odot}$ , $R_{\odot}$ , $T_{\odot}$ 라 하면, $L_{\odot} = 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4}$ ⋯①이다.

$\mathrm{A}$ 의 광도 $400L_{\odot} = 4\pi(10R_{\odot})^{2}\sigma(㉠T_{\odot})^{4}$ 이므로 $L_{\odot}$ 에 ①을 넣으면
$400 \times 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4} = 4\pi(10R_{\odot})^{2}\sigma(㉠T_{\odot})^{4}$ ,
$400 \times 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4} = 4\pi \times 10^{2}R_{\odot}^{\,2}\sigma \times ㉠^{4}T_{\odot}^{\,4}$ ,
$㉠ = \sqrt{2}$ 이다. (O)

ㄴ. $\mathrm{O} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{F} \rightarrow \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{K} \rightarrow \mathrm{M}$ 순으로 갈수록 표면 온도가 낮고,
태양의 분광형은 $\mathrm{G2}$ 형에 해당하므로 태양보다 표면 온도가 높은 $\mathrm{A}$ 의 분광형은 $\mathrm{K}$ 형이 아니다. (X)

ㄷ. $\mathrm{B}$ 의 광도는 $4\pi(2R_{\odot})^{2}\sigma(\sqrt{5}T_{\odot})^{4}$ 이므로
$4\pi(2R_{\odot})^{2}\sigma(\sqrt{5}T_{\odot})^{4} ={}$ $4\pi \times 2^{2}R_{\odot}^{\,2}\sigma \times (\sqrt{5})^{4}T_{\odot}^{\,4} ={}$ $400\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4}$ 이다.

①에서 $L_{\odot} = 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4}$ 이므로 $\mathrm{B}$ 의 광도는 태양의 $100$ 배인 $100L_{\odot}$ 이다.
그러므로 ㉡은 $100$ 이다. (O)

따라서 정답은 $4$ 번이다.

¶ 2번 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $2$

ㄱ. 빈의 변위 상수를 $a$ , 흑체의 표면 온도를 $T$ 라 할 때, $\lambda_{\max} = \dfrac{a}{T}$ 이다.

태양의 표면 온도를 $T_{\odot}$ 라 하고, $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 복사 에너지를 최대로 방출하는 파장을 각각 $\lambda_{\mathrm{A}}$ , $\lambda_{\mathrm{B}}$ 라 할 때,
$\lambda_{\mathrm{A}} = \dfrac{a}{2T_{\odot}}$ ,
$\lambda_{\mathrm{B}} = \dfrac{a}{0.5T_{\odot}} = \dfrac{4a}{2T_{\odot}}$ 이다.

그러므로 복사 에너지를 최대로 방출하는 파장은 $\mathrm{A}$ 가 $\mathrm{B}$ 의 $\dfrac{1}{4}$ 배이다. (X)

ㄴ. 슈테판·볼츠만 상수를 $\sigma$ , 별의 반지름을 $R$ , 별의 표면 온도를 $T$ 라 할 때, 광도는 $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$ 이다.

그러므로 태양의 광도, 반지름, 표면 온도를 각각 $L_{\odot}$ , $R_{\odot}$ , $T_{\odot}$ 라 하면, $L_{\odot} = 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4}$ ⋯①이다.

$\mathrm{A}$ 의 광도 $4L_{\odot} = 4\pi(㉠R_{\odot})^{2}\sigma(2T_{\odot})^{4}$ 이므로 $L_{\odot}$ 에 ①을 넣으면
$4 \times 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4} = 4\pi(㉠R_{\odot})^{2}\sigma(2T_{\odot})^{4}$ ,
$4 \times 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4} = 4\pi \times ㉠^{2}R_{\odot}^{\,2}\sigma \times 2^{4}T_{\odot}^{\,4}$ ,
$㉠ = 0.5$ 이다. (O)

ㄷ. $\mathrm{B}$ 의 광도는 $4\pi(5R_{\odot})^{2}\sigma(0.5T_{\odot})^{4}$ 이므로 $\mathrm{B}$ 의 광도를 $L_{\mathrm{B}}$ 라 할 때,
$L_{\mathrm{B}} = 4\pi(5R_{\odot})^{2}\sigma(0.5T_{\odot})^{4}$ ,
$L_{\mathrm{B}} = 4\pi \times 5^{2}R_{\odot}^{\,2}\sigma \times 0.5^{4}T_{\odot}^{\,4}$ ,
$L_{\mathrm{B}} = \dfrac{25}{4}\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4}$ 이다.

①에서 $L_{\odot} = 4\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4} = \dfrac{16}{4}\pi R_{\odot}^{\,2}\sigma T_{\odot}^{\,4}$ 이므로 $L_{\mathrm{B}} > L_{\odot}$ 이다.
그러므로 ㉡은 $1$ 보다 크다. (X)

따라서 정답은 $2$ 번이다.