정답: $3$

ㄱ. $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 광도를 각각 $LL$, $100L100L$이라 하고, $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 지구로부터의 거리를 각각 $r_{\mathrm{A}}r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$, $r_{\mathrm{B}}r\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$라 할 때,
$\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 겉보기 밝기는 ${\displaystyle \frac{L}{4\pi {r_{\mathrm{A}}}^2}}\backslash dfrac\{L\}\{4\backslash pi\{r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}^\{\backslash ,2\}\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 겉보기 밝기는 ${\displaystyle \frac{100L}{4\pi {r_{\mathrm{B}}}^2}}\backslash dfrac\{100L\}\{4\backslash pi\{r\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\}^\{\backslash ,2\}\}$이다.

$\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 겉보기 밝기는 같으므로 ${\displaystyle \frac{L}{4\pi {r_{\mathrm{A}}}^2}}={\displaystyle \frac{100L}{4\pi {r_{\mathrm{B}}}^2}}\backslash dfrac\{L\}\{4\backslash pi\{r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}^\{\backslash ,2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{100L\}\{4\backslash pi\{r\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\}^\{\backslash ,2\}\}$,
$r_{\mathrm{A}}={\displaystyle \frac{1}{10}}{r}_{\mathrm{B}}r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{10\}r\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$⋯①이다. (O)

ㄴ. 광도는 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 $100100$배이므로 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$와 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 지구로부터 $10\mathrm{p}\mathrm{c}10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$만큼 떨어져 있다고 가정할 때의 겉보기 밝기는 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 $100100$배이다.

별의 밝기가 클수록 등급이 낮으며, $55$등급 차이는 밝기 $100100$배 차이와 같으므로
절대 등급은 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$보다 $55$만큼 더 작다.
따라서 $\text{㉠}=4-5=-1㉠\; =\; 4\; -\; 5\; =\; -1$이다. (O)

ㄷ. $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 절대 등급은 겉보기 등급보다 $9-4=59\; -\; 4\; =\; 5$만큼 더 작으므로
$\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$가 지구로부터 $10\mathrm{p}\mathrm{c}10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$만큼 떨어져 있다고 가정할 때의 겉보기 밝기는 실제 겉보기 밝기의 $100100$배이다.

그러므로 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 지구로부터의 거리를 $r_{\mathrm{A}}r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$라 하면,
${\displaystyle \frac{L}{4\pi (10\mathrm{p}\mathrm{c}{)}^2}}={\displaystyle \frac{100L}{4\pi {r_{\mathrm{A}}}^2}}\backslash dfrac\{L\}\{4\backslash pi(10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\})^\{2\}\}\; =\; \backslash dfrac\{100L\}\{4\backslash pi\{r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\}^\{\backslash ,2\}\}$,
$r_{\mathrm{A}}=100\mathrm{p}\mathrm{c}r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; 100\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$이다.

①에서 $r_{\mathrm{A}}={\displaystyle \frac{1}{10}}{r}_{\mathrm{B}}r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{10\}r\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$이므로 $r_{\mathrm{A}}=100\mathrm{p}\mathrm{c}r\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; 100\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$을 넣으면 $r_{\mathrm{B}}=1000\mathrm{p}\mathrm{c}r\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\; =\; 1000\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$이다.

따라서 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 지구로부터 $10\mathrm{p}\mathrm{c}10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$만큼 떨어져 있다고 가정할 때와 실제 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 겉보기 밝기의 비는
${\displaystyle \frac{100L}{4\pi (10\mathrm{p}\mathrm{c}{)}^2}}:{\displaystyle \frac{100L}{4\pi (1000\mathrm{p}\mathrm{c}{)}^2}}\backslash dfrac\{100L\}\{4\backslash pi(10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\})^\{2\}\}:\backslash dfrac\{100L\}\{4\backslash pi(1000\backslash ,\backslash mathrm\{pc\})^\{2\}\}$,
$100^2:1100^\{2\}:1$이다.

별의 밝기가 클수록 등급이 낮으며, $55$등급 차이는 밝기 $100100$배 차이와 같으므로, $1010$등급 차이는 밝기 $100^{2}100^\{2\}$배 차이와 같다.
그러므로 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 절대 등급은 겉보기 등급보다 $1010$만큼 더 작아
$-1=\text{㉡}-10-1\; =\; ㉡\; -\; 10$,
$\text{㉡}=9㉡\; =\; 9$이다. (X)

따라서 정답은 $33$번이다.

정답: $5$

ㄱ. 슈테판·볼츠만 상수를 $\sigma \backslash sigma$, 별의 반지름을 $RR$, 별의 표면 온도를 $TT$라 할 때, 광도는 $L=4\pi R^2\sigma T^{4}L\; =\; 4\backslash pi\; R^\{2\}\backslash sigma\; T^\{4\}$이다.
$\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 광도를 각각 $L_{\mathrm{A}}L\_\{\backslash mathrm\{A\}\}$, $L_{\mathrm{B}}L\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$라 하고, $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 반지름을 각각 $10R10R$, $RR$이라 하고, $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$, $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 표면 온도를 모두 $TT$라 하자.

$L_{\mathrm{A}}=L\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\{\}$$4\pi (10R{)}^2\sigma T^4=4\backslash pi(10R)^\{2\}\backslash sigma\; T^\{4\}\; =\{\}$$4\pi \times 10^2{R}^2\sigma T^4=4\backslash pi\; \backslash times\; 10^\{2\}R^\{2\}\backslash sigma\; T^\{4\}\; =\{\}$$400\pi R^2\sigma T^{4}400\backslash pi\; R^\{2\}\backslash sigma\; T^\{4\}$이고,
$L_{\mathrm{B}}=4\pi R^2\sigma T^{4}L\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\; =\; 4\backslash pi\; R^\{2\}\backslash sigma\; T^\{4\}$이므로 $L_{\mathrm{A}}=100L_{\mathrm{B}}L\_\{\backslash mathrm\{A\}\}\; =\; 100L\_\{\backslash mathrm\{B\}\}$이다. (O)

ㄴ. 절대 등급은 별이 지구로부터 $10\mathrm{p}\mathrm{c}10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$만큼 떨어져 있다고 가정할 때의 겉보기 밝기를 등급으로 바꾼 값이고,
겉보기 등급은 별의 실제 겉보기 밝기를 등급으로 바꾼 값이다.

이때 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 지구로부터의 거리는 $10\mathrm{p}\mathrm{c}10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$이므로 절대 등급은 겉보기 등급과 같다.
그러므로 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$의 절대 등급은 $-2-2$이다.

별의 밝기가 클수록 등급이 낮으며, $55$등급 차이는 밝기 $100100$배 차이와 같으므로 절대 등급은 $\mathrm{A}\backslash mathrm\{A\}$가 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$보다 $55$만큼 더 작다.
$\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 절대 등급을 $MM$이라 하면,
$-2=M-5-2\; =\; M\; -\; 5$,
$M=3M\; =\; 3$이다. (O)

ㄷ. $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$가 지구로부터 $10\mathrm{p}\mathrm{c}10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\}$만큼 떨어져 있다고 가정할 때와 실제 $\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 겉보기 밝기의 비는
${\displaystyle \frac{L_{\mathrm{B}}}{4\pi (10\mathrm{p}\mathrm{c}{)}^2}}:{\displaystyle \frac{L_{\mathrm{B}}}{4\pi (100\mathrm{p}\mathrm{c}{)}^2}}\backslash dfrac\{L\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\}\{4\backslash pi(10\backslash ,\backslash mathrm\{pc\})^\{2\}\}:\backslash dfrac\{L\_\{\backslash mathrm\{B\}\}\}\{4\backslash pi(100\backslash ,\backslash mathrm\{pc\})^\{2\}\}$,
$100:1100:1$이다.

별의 밝기가 클수록 등급이 낮으며, $55$등급 차이는 밝기 $100100$배 차이와 같으므로
$\mathrm{B}\backslash mathrm\{B\}$의 절대 등급은 겉보기 등급보다 $55$만큼 더 작다.
그러므로 $3=\text{㉠}-53\; =\; ㉠\; -\; 5$,
$\text{㉠}=8㉠\; =\; 8$이다. (O)

따라서 정답은 $55$번이다.