벡터

지식 정보

해당 지식
벡터 A와 x·y 성분 벡터를 나타낸 아이콘

크기와 방향을 함께 가지는 벡터와 크기만 가지는 스칼라의 차이, 화살표로 표현하는 방법, 벡터의 합과 차 및 분해를 설명합니다.
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3차원 좌표계와 점을 나타낸 아이콘 피타고라스 정리와 삼각비를 나타내는 직각삼각형 아이콘 벡터의 내적과 외적을 나타내는 아이콘 속도계 바늘과 ‘속도와 속력’ 글자가 있는 물리학 아이콘

벡터와 스칼라

벡터는 크기와 방향을 함께 가진 것이고,
스칼라는 크기만 가진 것이다.

벡터는 그림으로 표현할 때 화살표로 나타내고, 화살표의 길이는 벡터의 크기를, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 의미한다.

벡터를 수식으로 표현할 때는 a\mathbf{a}와 같이 진한 글씨인 볼드체로 쓰거나 기호 위에 a→\overrightarrow{a}처럼 화살표를 그려 나타낸다.

벡터 a→\overrightarrow{a}의 크기는 ∣a→∣|\overrightarrow{a}|와 같이 절댓값을 통해 나타낸다.

수학에서 벡터는 크기와 방향만 같다면 위치에 관계없이 같은 벡터이다.

벡터의 방향과 크기를 나타내는 화살표 도식

두 벡터의 크기는 같고 방향만 반대일 때, 부호는 서로 반대이다.

벡터 \(\vec{a}\)와 반대 방향 벡터 \(-\vec{a}\) 비교

시작점을 O\mathrm{O}, 끝점을 A\mathrm{A}로 하는 벡터를 적을 때는 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}와 같이 나타낸다.

점 O에서 점 A로 향하는 위치벡터 overrightarrow{OA} 도식

벡터와 스칼라 예시

그림과 같이 좌표 평면에 점 A(3,4)\mathrm{A}(3, 4)가 있다. 이때 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 크기를 구해보자.

좌표평면에 표시된 점 A(3, 4)

벡터의 길이는 벡터의 크기를 의미하므로 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 길이(OA‾)(\overline{\mathrm{OA}})를 구하면 된다.

좌표평면에서 점 A(3,4)를 향하는 위치벡터 OA와 점 B(3,0)

위 그림과 같이 추가로 점 B(3,0)\mathrm{B}(3, 0)을 그리면 삼각형 AOB\mathrm{AOB}(점 A\mathrm{A}, O\mathrm{O}, B\mathrm{B}를 서로 이은 도형)는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 적용하여 32+42=(OA‾)23^{2} + 4^{2} = (\overline{\mathrm{OA}})^{2},
9+16=(OA‾)29 + 16 = (\overline{\mathrm{OA}})^{2},
25=(OA‾)225 = (\overline{\mathrm{OA}})^{2},
52=(OA‾)25^{2} = (\overline{\mathrm{OA}})^{2},
따라서 OA‾=5\overline{\mathrm{OA}} = 5이다.

벡터의 합

두 벡터 a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}의 합 a→+b→\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}는 a→\overrightarrow{a}의 끝에서 b→\overrightarrow{b}를 출발시켜 삼각형을 만들 때, a→\overrightarrow{a}의 시작점에서 b→\overrightarrow{b}의 끝점까지를 잇는 벡터이다.

벡터 a와 b의 평행이동 및 벡터합 a+b를 나타낸 그림

벡터의 합 예시

그림과 같이 좌표 평면에 두 점 A(0,1)\mathrm{A}(0, 1), B(1,0)\mathrm{B}(1, 0)이 있을 때, OA→+OB→\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}를 구해보자.

좌표평면에서 점 A(0,1)과 점 B(1,0)를 나타낸 그림

아래 그림과 같이 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}, OB→\overrightarrow{\mathrm{OB}}를 그린다.
이후 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 끝에서 OB→\overrightarrow{\mathrm{OB}}를 출발시켜 삼각형을 만들어 OA→+OB→\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}}를 구한다.

길이가 1인 벡터 OA와 OB 및 두 벡터의 합 OA+OB 도식

벡터의 차

두 벡터 a→\overrightarrow{a}, b→\overrightarrow{b}의 차 a→−b→\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}는 b→\overrightarrow{b}의 방향만 반대로 바꾸어 −b→-\overrightarrow{b}로 만든 후, a→\overrightarrow{a}와 −b→-\overrightarrow{b}의 합으로 구한다.

벡터의 음의 벡터와 벡터 뺄셈을 나타낸 화살표 도식

벡터의 차 예시

그림과 같이 좌표 평면에 두 점 A(0,1)\mathrm{A}(0, 1), B(1,0)\mathrm{B}(1, 0)이 있을 때, OA→−OB→\overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}를 구해보자.

좌표평면에서 점 A(0,1)과 점 B(1,0)를 나타낸 그림

아래 그림과 같이 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}, −OB→-\overrightarrow{\mathrm{OB}}를 그린다.
이후 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 끝에서 −OB→-\overrightarrow{\mathrm{OB}}를 출발시켜 삼각형을 만들어 OA→−OB→\overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}를 구한다.

길이가 1인 벡터 OA, OB, -OB와 벡터 OA−OB의 도식

벡터의 분해

벡터의 분해는 하나의 벡터를 서로 수직인 두 개 이상의 벡터로 분해하는 것이다.

아래 그림과 같이 xyxy 평면에 벡터 a→\overrightarrow{a}가 있을 때, xx 축과 yy 축에 나란한 벡터 ax→\overrightarrow{a_{x}}, ay→\overrightarrow{a_{y}}로 분해할 수 있다.

x-y 좌표평면에서 벡터 a와 x·y 성분을 나타낸 그림

ax→\overrightarrow{a_{x}}, ay→\overrightarrow{a_{y}}는 각각 a→\overrightarrow{a}의 xx 성분, a→\overrightarrow{a}의 yy 성분이라고 하며,
삼각비를 통해 ∣ax→∣=∣a→∣cos⁡θ|\overrightarrow{a_{x}}| = |\overrightarrow{a}|\cos\theta, ∣ay→∣=∣a→∣sin⁡θ|\overrightarrow{a_{y}}| = |\overrightarrow{a}|\sin\theta이고,
피타고라스 정리를 통해 ∣ax→∣2+∣ay→∣2=∣a→∣2|\overrightarrow{a_{x}}|^{2}+|\overrightarrow{a_{y}}|^{2} = |\overrightarrow{a}|^{2}임을 알 수 있다.

벡터의 분해 예시

그림과 같이 좌표 평면에 크기가 22인 벡터 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}가 있다. OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}와 xx 축이 이루는 각도가 30∘30^{\circ}일 때, OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 yy 성분의 크기를 구해보자.

좌표평면에서 x축과 30°를 이루는 벡터 OA

아래 그림과 같이 점 A\mathrm{A}와 xx좌표가 같고 yy좌표가 00인 점 B\mathrm{B}를 그리면 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 yy 성분의 크기는 AB‾\overline{\mathrm{AB}}의 길이와 같다.

좌표평면에서 x축과 30°를 이루며 점 A를 향하는 크기 2의 벡터

삼각형 AOB\mathrm{AOB}는 OA‾\overline{\mathrm{OA}}가 빗변, ∠AOB\angle\mathrm{AOB}에 대하여 AB‾\overline{\mathrm{AB}}가 대변이므로
sin⁡30∘=대변빗변=AB‾OA‾=AB‾2\sin{30^{\circ}} = \dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{OA}}} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{2}인데, 특수각 30∘30^{\circ}에서 sin⁡30∘=12\sin{30^{\circ}} = \dfrac{1}{2}이므로
12=\dfrac{1}{2} ={}AB‾2\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{2},
AB‾=1\overline{\mathrm{AB}} = 1이다.

따라서 OA→\overrightarrow{\mathrm{OA}}의 yy 성분의 크기는 11이다.

시뮬레이션


적용 문항

1번 문항


좌표평면의 두 점 A(0,6), B(8,0)에서 벡터 합의 크기를 묻는 문항

2번 문항


크기 4인 벡터 OA의 x성분을 묻는 좌표평면 문항