해당 지식
기준점으로부터 힘이 작용한 지점까지의 벡터와 수직으로 작용하는 힘으로 정해지는 돌림힘의 정의와 방향 및 평형 상태의 조건을 설명합니다.
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돌림힘(토크)

¶ 지식 정보

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기준점으로부터 힘이 작용한 지점까지의 벡터와 수직으로 작용하는 힘으로 정해지는 돌림힘의 정의와 방향 및 평형 상태의 조건을 설명합니다.
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¶ 돌림힘(토크)

기준점으로부터 힘이 작용한 지점까지의 벡터를 $\overrightarrow{r}$ 이라 하고, $\overrightarrow{r}$ 에 수직으로 작용하는 힘을 $\overrightarrow{F}$ 라 할 때, $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ 인 물리량이다.
기호로 $\overrightarrow{\tau}$ 로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{N·m}$ 를 사용한다.

아래 그림과 같이 물체에 $\overrightarrow{r}$ 과 $\overrightarrow{F}$ 가 있을 때, $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ 의 방향은 화면(종이면)에 나오는 방향인데,
이처럼 화면(종이면)에 나오는 방향을 주로 양 $(+)$ 의 부호로 하고, 반대로 화면(종이면)에 들어가는 방향을 음 $(-)$ 의 부호로 한다.

기준점과 힘이 작용하는 지점, 위치 벡터와 힘 벡터를 나타낸 돌림힘 도식

¶ 평형 상태

물체가 정지해 있거나 등속도 운동을 하는 상태이다.

¶ 평형 상태의 조건

평형 상태인 물체는 아래의 조건을 모두 만족한다.

물체에 작용하는 알짜힘이 $0$ 이다.
기준점으로부터 물체에 작용하는 돌림힘의 합이 $0$ 이다.

기준점은 어느 곳을 잡아도 상관없다.

¶ 평형 상태 예시

¶ 간단한 평형 상태의 분석

그림과 같이 받침대에 놓인 막대가 수평으로 평형을 유지하고 있고, 막대 위에 물체 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 놓여 있다.
막대, $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 질량은 각각 $4\,\mathrm{kg}$ , $M$ , $1\,\mathrm{kg}$ 이고, 막대의 길이는 $8\,\mathrm{m}$ 이다.
받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기와 $M$ 을 구해 보자. (단, 중력 가속도는 $10\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이고, 막대의 밀도는 균일하며, 막대의 두께와 폭, 물체의 크기는 무시한다.)

$\circ$ 돌림힘으로 푸는 경우:

물체가 막대를 누르는 힘과 막대의 무게를 구하면 아래와 같다.

$\mathrm{A}$ 가 막대를 누르는 힘의 크기:
$M \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} = 10M\,\mathrm{m/s^{2}}$
$\mathrm{B}$ 가 막대를 누르는 힘의 크기:
$1\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{kg·m/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{N}$
막대의 무게:
$4\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} ={}$ $40\,\mathrm{kg·m/s^{2}} ={}$ $40\,\mathrm{N}$

받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기를 $F$ 라 할 때, 막대와 물체에 작용하는 모든 힘을 표기하면 아래 그림과 같다.

막대에 작용하는 알짜힘이 $0$ 이므로
$F = 10M\,\mathrm{m/s^{2}} + 40\,\mathrm{N} + 10\,\mathrm{N}$ ,
$F = 10M\,\mathrm{m/s^{2}} + 50\,\mathrm{N}$ ⋯①이다.

돌림힘은 기준점으로부터 힘이 작용한 지점까지의 벡터를 $\overrightarrow{r}$ 이라 하고, $\overrightarrow{r}$ 에 수직으로 작용하는 힘을 $\overrightarrow{F}$ 라 할 때, $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ 인 물리량이다.

기준점을 힘이 작용하는 지점으로 잡으면 해당 위치는 $\overrightarrow{r} = 0$ 이 되어 계산이 간단해지므로,
막대에서 크기가 $10M\,\mathrm{m/s^{2}}$ 인 힘이 작용하는 지점을 기준점으로 할 때,
막대에 작용하는 돌림힘을 구하면 아래와 같다.

$\mathrm{A}$ 가 막대를 누르는 힘에 의한 돌림힘:
$0 \times 10M\,\mathrm{m/s^{2}} = 0$
$\mathrm{B}$ 가 막대를 누르는 힘에 의한 돌림힘:
$-3\,\mathrm{m} \times 10\,\mathrm{N} = -30\,\mathrm{N·m}$ (화면에 들어가는 방향이므로 음 $(-)$ 의 부호를 갖는다.)
막대의 무게에 의한 돌림힘:
$-2\,\mathrm{m} \times 40\,\mathrm{N} = -80\,\mathrm{N·m}$ (화면에 들어가는 방향이므로 음 $(-)$ 의 부호를 갖는다.)
받침대가 막대를 떠받치는 힘에 의한 돌림힘:
$1\,\mathrm{m} \times F = F\,\mathrm{m}$ (화면에 나오는 방향이므로 양 $(+)$ 의 부호를 갖는다.)

막대에 작용하는 돌림힘의 합이 $0$ 이므로
$0 - 30\,\mathrm{N·m} - 80\,\mathrm{N·m} + F\,\mathrm{m} = 0$ ,
$F = 110\,\mathrm{N}$ 이다.

이를 ①에 넣으면
$F = 10M\,\mathrm{m/s^{2}} + 50\,\mathrm{N}$ ⋯①에서
$110\,\mathrm{N} = 10M\,\mathrm{m/s^{2}} + 50\,\mathrm{N}$ ,
$60\,\mathrm{N} = 10M\,\mathrm{m/s^{2}}$ ,
$60\,\mathrm{kg·m/s^{2}} = 10M\,\mathrm{m/s^{2}}$ ,
$M = 6\,\mathrm{kg}$ 이다.

$\circ$ 질량 중심으로 푸는 경우:

막대에 받침대가 $1$ 개만 존재하므로, 막대와 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 를 하나의 계로 볼 때, 계의 질량 중심의 위치는 받침대가 막대를 떠받치는 지점과 같다.

막대에 작용하는 알짜힘이 $0$ 이므로 받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기는 계의 무게와 같은데,
질량 중심의 위치가 받침대가 막대를 떠받치는 지점과 같지 않을 경우 돌림힘의 합이 $0$ 이 될 수 없기 때문이다.

막대, $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 를 각각 $1$ , $2$ , $3$ 번째 물체라 하면 $m_{1} = 4\,\mathrm{kg}$ , $m_{2} = M$ , $m_{3} = 1\,\mathrm{kg}$ 이다.

따라서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i} ={}$ $m_{1} + m_{2} + m_{3} ={}$ $4\,\mathrm{kg} + M + 1\,\mathrm{kg} ={}$ $M + 5\,\mathrm{kg}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 가 막대를 누르는 지점을 기준점이라 하면 $r_{1} = 2\,\mathrm{m}$ , $r_{2} = 0$ , $r_{3} = 3\,\mathrm{m}$ 이다.

그러므로 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = \displaystyle\sum_{i=1}^{3}m_{i}r_{i}$ ,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = m_{1}r_{1} + m_{2}r_{2} + m_{3}r_{3}$ ,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = (4\,\mathrm{kg} \times 2\,\mathrm{m}) + (M \times 0) + (1\,\mathrm{kg} \times 3\,\mathrm{m})$ ,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = 11\,\mathrm{kg·m}$ 이다.

$\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}} = \dfrac{11\,\mathrm{kg·m}}{M + 5\,\mathrm{kg}} = 1\,\mathrm{m}$ 이므로
$M = 6\,\mathrm{kg}$ 이다.

막대에 작용하는 알짜힘이 $0$ 이므로 받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기는 계의 무게(계의 전체 질량에 중력 가속도를 곱한 값)와 같다.
따라서 받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기는
$(4\,\mathrm{kg} + 6\,\mathrm{kg} + 1\,\mathrm{kg}) \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} ={}$ $110\,\mathrm{kg·m/s^{2}} ={}$ $110\,\mathrm{N}$ 이다.

¶ 복잡한 평형 상태의 분석

그림은 질량이 각각 $2\,\mathrm{kg}$ , $4\,\mathrm{kg}$ , $1\,\mathrm{kg}$ 인 막대를 이용하여 만든 구조물이 평형을 이루고 있는 모습을 나타낸 것이다.
수평으로 놓인 위쪽 막대와 아래쪽 막대의 길이가 각각 $4\,\mathrm{m}$ , $5\,\mathrm{m}$ 일 때, $x$ 를 구해 보자. (단, 중력 가속도는 $10\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이고, 막대의 밀도는 균일하며, 막대의 두께와 폭은 무시한다.)

$\circ$ 돌림힘으로 푸는 경우:

기둥과 막대의 무게를 구하면 아래와 같다.

기둥의 무게:
$1\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{kg·m/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{N}$
위쪽 막대의 무게:
$2\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} ={}$ $20\,\mathrm{kg·m/s^{2}} ={}$ $20\,\mathrm{N}$
아래쪽 막대의 무게:
$4\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} ={}$ $40\,\mathrm{kg·m/s^{2}} ={}$ $40\,\mathrm{N}$

작용·반작용 법칙에 의해 기둥이 막대를 떠받치는 힘은 막대가 기둥을 미는 힘과 크기는 같고 방향은 반대이다.
따라서 왼쪽과 오른쪽 기둥이 위쪽 막대를 떠받치는 힘을 각각 $F_{1}$ , $F_{2}$ 라 할 때,
왼쪽과 오른쪽 기둥이 아래쪽 막대를 누르는 힘의 크기는 각각 $F_{1} + 10\,\mathrm{N}$ , $F_{2} + 10\,\mathrm{N}$ 이다.

그러므로 받침대가 막대를 떠받치는 힘의 크기를 $F_{3}$ 라 할 때, 막대와 기둥에 작용하는 모든 힘을 표기하면 아래 그림과 같다.

위쪽과 아래쪽 막대에 작용하는 알짜힘이 $0$ 이므로
위쪽 막대에서 $F_{1} + F_{2} = 20\,\mathrm{N}$ ⋯①,
아래쪽 막대에서 $F_{3} = F_{1} + 10\,\mathrm{N} + 40\,\mathrm{N} + F_{2} + 10\,\mathrm{N}$ ,
$F_{3} = F_{1} + F_{2} + 60\,\mathrm{N}$ 이다.

①에서 $F_{1} + F_{2} = 20\,\mathrm{N}$ 이므로 이를 넣으면
$F_{3} = 20\,\mathrm{N} + 60\,\mathrm{N} = 80\,\mathrm{N}$ 이다.

$1.$ 위쪽 막대 분석:

위쪽 막대에서 $F_{1}$ 이 작용하는 지점을 기준점으로 할 때, 위쪽 막대에 작용하는 돌림힘을 구하면 아래와 같다.

$F_{1}$ 에 의한 돌림힘:
$0 \times F_{1} = 0$
$F_{2}$ 에 의한 돌림힘:
$4\,\mathrm{m} \times F_{2} = 4F_{2}\,\mathrm{m}$
위쪽 막대의 무게에 의한 돌림힘:
$-2\,\mathrm{m} \times 20\,\mathrm{N} = -40\,\mathrm{N·m}$

위쪽 막대에 작용하는 돌림힘의 합이 $0$ 이므로
$0 + 4F_{2}\,\mathrm{m} - 40\,\mathrm{N·m} = 0$ ,
$F_{2} = 10\,\mathrm{N}$ 이다.

이를 ①에 넣으면
$F_{1} + F_{2} = 20\,\mathrm{N}$ ⋯①에서
$F_{1} + 10\,\mathrm{N} = 20\,\mathrm{N}$ ,
$F_{1} = 10\,\mathrm{N}$ 이다.

$2.$ 아래쪽 막대 분석:

$F_{1} = 10\,\mathrm{N}$ , $F_{2} = 10\,\mathrm{N}$ , $F_{3} = 80\,\mathrm{N}$ 이므로 막대와 기둥에 작용하는 모든 힘을 표기하면 아래 그림과 같다.

아래쪽 막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점으로 할 때, 아래쪽 막대에 작용하는 돌림힘을 구하면 아래와 같다.

왼쪽 기둥이 미는 힘에 의한 돌림힘:
$0 \times 20\,\mathrm{N} = 0$
오른쪽 기둥이 미는 힘에 의한 돌림힘:
$-4\,\mathrm{m} \times 20\,\mathrm{N} = -80\,\mathrm{N·m}$
아래쪽 막대의 무게에 의한 돌림힘:
$-\dfrac{5}{2}\,\mathrm{m} \times 40\,\mathrm{N} = -100\,\mathrm{N·m}$
받침대가 막대를 떠받치는 힘에 의한 돌림힘:
$x \times 80\,\mathrm{N} = 80x\,\mathrm{N}$

아래쪽 막대에 작용하는 돌림힘의 합이 $0$ 이므로
$0 - 80\,\mathrm{N·m} - 100\,\mathrm{N·m} + 80x\,\mathrm{N} = 0$ ,
$x = \dfrac{9}{4}\,\mathrm{m}$ 이다.

$\circ$ 질량 중심으로 푸는 경우:

아래쪽 막대에 받침대가 $1$ 개만 존재하므로, 두 막대와 두 기둥을 하나의 계로 볼 때,
계의 질량 중심의 위치는 받침대가 아래쪽 막대를 떠받치는 지점과 같다.

각 막대에 작용하는 중력은 수평면에 수직인 방향으로 작용하는 벡터이므로, 각 막대의 질량 중심의 위치가 수평면에 수평인 직선상에 놓여 있는 것으로 생각할 수 있다.

위쪽 막대, 아래쪽 막대, 왼쪽 기둥, 오른쪽 기둥을 각각 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 번째 물체라 하면
$m_{1} = 2\,\mathrm{kg}$ , $m_{2} = 4\,\mathrm{kg}$ , $m_{3} = 1\,\mathrm{kg}$ , $m_{4} = 1\,\mathrm{kg}$ 이다.

따라서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i} ={}$ $m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4} ={}$ $2\,\mathrm{kg} + 4\,\mathrm{kg} + 1\,\mathrm{kg} + 1\,\mathrm{kg} ={}$ $8\,\mathrm{kg}$ 이다.

아래쪽 막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점이라 하면 $r_{1} = 2\,\mathrm{m}$ , $r_{2} = \dfrac{5}{2}\,\mathrm{m}$ , $r_{3} = 0$ , $r_{4} = 4\,\mathrm{m}$ 이다.

그러므로 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = \displaystyle\sum_{i=1}^{4}m_{i}r_{i}$ ,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = m_{1}r_{1} + m_{2}r_{2} + m_{3}r_{3} + m_{4}r_{4}$ ,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = (2\,\mathrm{kg} \times 2\,\mathrm{m}) + \left(4\,\mathrm{kg} \times \dfrac{5}{2}\,\mathrm{m}\right) + (1\,\mathrm{kg} \times 0) + (1\,\mathrm{kg} \times 4\,\mathrm{m})$ ,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i} = 18\,\mathrm{kg·m}$ 이다.

$\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_{i}} = \dfrac{18\,\mathrm{kg·m}}{8\,\mathrm{kg}} = \dfrac{9}{4}\,\mathrm{m}$ 이므로 $x = \dfrac{9}{4}\,\mathrm{m}$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

¶ 2번 문항

질량과 길이가 표시된 2층 막대 구조물의 평형과 기둥 A 위치를 묻는 돌림힘 문제

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $3$

막대의 무게를 구하면 아래와 같다.

질량이 $m$ 인 막대의 무게: $m g$
질량이 $2 m$ 인 막대의 무게: $2 m g$
질량이 $3 m$ 인 막대의 무게: $3 m g$

질량이 $m$ 인 막대는 수직으로 세워져 있으므로 기둥이라고 하자.

작용·반작용 법칙에 의해 기둥이 막대를 떠받치는 힘은 막대가 기둥을 미는 힘과 크기는 같고 방향은 반대이다.
따라서 $2$ 층의 왼쪽과 오른쪽 기둥이 위쪽 막대를 떠받치는 힘을 각각 $F_{1}$ , $F_{2}$ 라 할 때,
$2$ 층의 왼쪽과 오른쪽 기둥이 아래쪽 막대를 누르는 힘의 크기는 각각 $F_{1} + mg$ , $F_{2} + mg$ 이다.

$1$ 층의 세 기둥이 떠받치는 힘의 크기는 모두 같으므로 그 크기를 $F_{3}$ 라 할 때, 막대와 $2$ 층 기둥에 작용하는 모든 힘을 표기하면 아래 그림과 같다.

위쪽과 아래쪽 막대에 작용하는 알짜힘이 $0$ 이므로
위쪽 막대에서 $F_{1} + F_{2} = 2mg$ ⋯①,
아래쪽 막대에서 $3F_{3} = F_{1} + mg + 3mg + F_{2} + mg$ ,
$3F_{3} = F_{1} + F_{2} + 5mg$ 이다.

①에서 $F_{1} + F_{2} = 2mg$ 이므로 이를 넣으면
$3F_{3} = 2mg + 5mg$ ,
$F_{3} = \dfrac{7}{3}mg$ 이다.

$1.$ 위쪽 막대 분석:

위쪽 막대에서 $F_{1}$ 이 작용하는 지점을 기준점으로 할 때, 위쪽 막대에 작용하는 돌림힘을 구하면 아래와 같다.

$F_{1}$ 에 의한 돌림힘:
$0 \times F_{1} = 0$
$F_{2}$ 에 의한 돌림힘:
$2L \times F_{2} = 2LF_{2}$
위쪽 막대의 무게에 의한 돌림힘:
$-L \times 2mg = -2Lmg$

위쪽 막대에 작용하는 돌림힘의 합이 $0$ 이므로
$0 + 2LF_{2} - 2Lmg = 0$ ,
$F_{2} = mg$ 이다.

이를 ①에 넣으면
$F_{1} + F_{2} = 2mg$ ⋯①에서
$F_{1} + mg = 2mg$ ,
$F_{1} = mg$ 이다.

$2.$ 아래쪽 막대 분석:

$F_{1} = mg$ , $F_{2} = mg$ , $F_{3} = \dfrac{7}{3}mg$ 이므로 막대와 $2$ 층 기둥에 작용하는 모든 힘을 표기하면 아래 그림과 같다.

수평면 위 사각형 구조물의 힘과 거리 L, 2L, 3L, x를 나타낸 돌림힘 도식

아래쪽 막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점으로 할 때, 아래쪽 막대에 작용하는 돌림힘을 구하면 아래와 같다.

$2$ 층 왼쪽 기둥이 미는 힘에 의한 돌림힘:
$0 \times 2mg = 0$
$2$ 층 오른쪽 기둥이 미는 힘에 의한 돌림힘:
$-2L \times 2mg = -4Lmg$
아래쪽 막대의 무게에 의한 돌림힘:
$-\dfrac{3}{2}L \times 3mg = -\dfrac{9}{2}Lmg$
$1$ 층 왼쪽 기둥이 떠받치는 힘에 의한 돌림힘:
$0 \times \dfrac{7}{3}mg = 0$
$1$ 층 기둥 $\mathrm{A}$ 가 떠받치는 힘에 의한 돌림힘:
$x \times \dfrac{7}{3}mg = \dfrac{7}{3}xmg$
$1$ 층 오른쪽 기둥이 떠받치는 힘에 의한 돌림힘:
$3L \times \dfrac{7}{3}mg = 7Lmg$

아래쪽 막대에 작용하는 돌림힘의 합이 $0$ 이므로
$0 - 4Lmg - \dfrac{9}{2}Lmg + 0 + \dfrac{7}{3}xmg + 7Lmg = 0$ ,
$x = \dfrac{9}{14}L$ 이다.

따라서 정답은 $3$ 번이다.