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물체에 비보존력이 작용하는 경우, 물체의 역학적 에너지가 변하는 경우와 물체의 역학적 에너지 변화를 설명합니다.
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역학적 에너지 심화

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물체에 비보존력이 작용하는 경우, 물체의 역학적 에너지가 변하는 경우와 물체의 역학적 에너지 변화를 설명합니다.
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¶ 역학적 에너지가 변하는 경우

물체에 비보존력이 작용하는 경우 물체의 역학적 에너지가 변한다.

¶ 물체가 실로 연결된 경우 예시

그림은 질량이 각각 $1\,\mathrm{kg}$ 과 $9\,\mathrm{kg}$ 인 물체 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 를 실로 연결한 후 가만히 놓았더니 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 높이가 각각 $1\,\mathrm{m}$ 만큼 변한 순간을 나타낸 것이다.
이때 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 속력 $v$ 를 구해 보자. (단, 중력 가속도는 $10\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이고, 실의 질량, 공기 저항과 모든 마찰은 무시한다.)

도르래에 연결된 1kg 물체 A와 9kg 물체 B의 속도 및 1m 위치 표시

$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 가 운동하는 동안 실이 $\mathrm{A}$ 를 당기는 힘의 방향은 $\mathrm{A}$ 의 운동 방향과 같으므로 $\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지는 증가하고,
실이 $\mathrm{B}$ 를 당기는 힘의 방향은 $\mathrm{B}$ 의 운동 방향과 반대이므로 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지는 감소한다.

이때 실이 $\mathrm{A}$ 를 당기는 힘의 크기와 실이 $\mathrm{B}$ 를 당기는 힘의 크기는 같고, $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 이동 거리는 서로 같으므로
$\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 증가량은 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 감소량과 같다.

$\mathrm{A}$ 가 $1\,\mathrm{m}$ 만큼 이동하는 동안 $\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 변화량 분석:

$\mathrm{A}$ 의 운동 에너지 증가량은 $\dfrac12 \times 1\,\mathrm{kg} \times v^{2} = \dfrac12v^{2}\,\mathrm{kg}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 는 높이가 $1\,\mathrm{m}$ 만큼 증가하므로 $\mathrm{A}$ 의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은
$1\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times 1\,\mathrm{m} ={}$ $10\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{J}$ 이다.

따라서 $\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 증가량은 $\dfrac12v^{2}\,\mathrm{kg} + 10\,\mathrm{J}$ 이다.

$\mathrm{B}$ 가 $1\,\mathrm{m}$ 만큼 이동하는 동안 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 변화량 분석:

$\mathrm{B}$ 의 운동 에너지 증가량은 $\dfrac12 \times 9\,\mathrm{kg} \times v^{2} = \dfrac92v^{2}\,\mathrm{kg}$ 이다.

$\mathrm{B}$ 는 높이가 $1\,\mathrm{m}$ 만큼 감소하므로 $\mathrm{B}$ 의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은
$9\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times 1\,\mathrm{m} ={}$ $90\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $90\,\mathrm{J}$ 이다.

따라서 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 감소량은 $90\,\mathrm{J} - \dfrac92v^{2}\,\mathrm{kg}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 증가량은 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 감소량과 같으므로
$\dfrac12v^{2}\,\mathrm{kg} + 10\,\mathrm{J} = 90\,\mathrm{J} - \dfrac92v^{2}\,\mathrm{kg}$ ,
$v^{2}\,\mathrm{kg} = 16\,\mathrm{J}$ ,
$v^{2}\,\mathrm{kg} = 16\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}}$ ,
$v = 4\,\mathrm{m/s}$ 이다.

¶ 용수철과 물체 사이의 에너지 전환 예시

용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지가 물체의 역학적 에너지로 전환되는 경우:

그림과 같이 용수철 상수가 $200\,\mathrm{N/m}$ 인 용수철에 질량이 $2\,\mathrm{kg}$ 인 물체를 접촉시킨 후 용수철을 $0.1\,\mathrm{m}$ 만큼 압축시켜 수평면에 가만히 놓을 때, 용수철과 분리된 후 물체가 $v$ 의 속력으로 운동한다. 이때 $v$ 를 구해 보자. (단, 물체의 크기, 용수철의 질량, 공기 저항과 모든 마찰은 무시한다.)

용수철은 물체에 탄성력을 작용하므로 물체는 오른쪽으로 운동하기 시작하여 용수철이 원래 길이로 되돌아왔을 때 분리된다.

이 동안 물체에 작용하는 탄성력은 알짜힘에 해당하며 물체의 운동 방향과 탄성력의 방향이 같기 때문에
탄성력이 한 일은 물체의 운동 에너지 증가량과 같다.

따라서 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 감소량은 물체의 운동 에너지 증가량과 같으며,
물체는 용수철이 원래 길이로 되돌아왔을 때 분리되므로 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지는 모두 물체의 운동 에너지로 전환된다.

이를 식으로 세우면
$\dfrac12 \times 200\,\mathrm{N/m} \times (0.1\,\mathrm{m})^{2} = \dfrac12 \times 2\,\mathrm{kg} \times v^{2}$ ,
$1\,\mathrm{N·m} = v^{2}\,\mathrm{kg}$ ,
$1\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} = v^{2}\,\mathrm{kg}$ ,
$v = 1\,\mathrm{m/s}$ 이다.

물체의 역학적 에너지가 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환되는 경우:

그림과 같이 질량이 $3\,\mathrm{kg}$ 인 물체가 수평면에서 $2\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 등속도 운동을 하다가 용수철 상수가 $300\,\mathrm{N/m}$ 인 용수철을 최대 $x$ 만큼 압축시킬 때 $x$ 를 구해 보자. (단, 물체의 크기, 용수철의 질량, 공기 저항과 모든 마찰은 무시한다.)

물체가 용수철을 압축시킬 때 용수철은 물체에 탄성력을 작용하므로 물체는 왼쪽으로 알짜힘을 받아 속력이 감소한다.

이 동안 물체에 작용하는 탄성력은 알짜힘에 해당하며 물체의 운동 방향과 탄성력의 방향이 반대이기 때문에
탄성력이 한 일은 물체의 운동 에너지 감소량과 같다.

따라서 물체의 운동 에너지 감소량은 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 증가량과 같으며,
물체의 운동 에너지가 모두 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환될 때 용수철은 최대로 압축된다.

이를 식으로 세우면
$\dfrac12 \times 3\,\mathrm{kg} \times (2\,\mathrm{m/s})^{2} = \dfrac12 \times 300\,\mathrm{N/m} \times x^{2}$ ,
$6\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} = 150x^{2}\,\mathrm{N/m}$ ,
$6\,\mathrm{N·m} = 150x^{2}\,\mathrm{N/m}$ ,
$x = 0.2\,\mathrm{m}$ 이다.

¶ 물체의 역학적 에너지 손실 예시

그림은 수평면에서 $4\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 등속도 운동을 하던 질량이 $1\,\mathrm{kg}$ 인 물체가 마찰 구간을 지나 높이가 $h$ 인 지점에서 속력이 $0$ 이 된 후 다시 내려와 마찰 구간을 한 번 더 지나 처음 진입한 지점에서 정지한 것을 나타낸 것이다. 마찰 구간에서 물체가 받는 마찰력의 크기는 일정하고 마찰 구간의 길이가 $1\,\mathrm{m}$ 일 때 $h$ 와 마찰력의 크기를 구해 보자. (단, 중력 가속도는 $10\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이고, 물체의 크기, 공기 저항과 마찰 구간 외의 모든 마찰은 무시한다.)

4m/s로 이동하는 물체와 1kg 블록, 마찰 구간 및 높이 h 경사면 그림

마찰 구간에서 물체에 작용하는 알짜힘은 마찰력과 같고,
마찰력은 물체의 운동 방향과 반대로 작용하므로 마찰력이 한 일은 물체의 운동 에너지 감소량과 같다.

따라서 마찰 구간에서 물체에 작용하는 마찰력의 크기를 $F$ 라 할 때 물체가 마찰 구간을 $1$ 번 지난 직후 물체의 운동 에너지는
$E_{k} = \dfrac12 \times 1\,\mathrm{kg} \times (4\,\mathrm{m/s})^{2} - F \times 1\,\mathrm{m}$ ,
$E_{k} = 8\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} - F\,\mathrm{m}$ ,
$E_{k} = 8\,\mathrm{J} - F\,\mathrm{m}$ 이다.

물체가 마찰 구간을 지나 높이가 $h$ 인 지점에서 속력이 $0$ 이 될 때,
운동 에너지가 모두 중력 퍼텐셜 에너지로 전환되므로 이를 식으로 나타내면
$8\,\mathrm{J} - F\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times h$ ,
$8\,\mathrm{J} - F\,\mathrm{m} = 10h\,\mathrm{kg·m/s^{2}}$ 이다.⋯①

물체가 높이가 $h$ 인 지점에서 수평면으로 다시 내려온 이후 물체는 마찰 구간을 한 번 더 지나 처음 진입한 지점에서 정지하므로
$8\,\mathrm{J} - F\,\mathrm{m} - F\,\mathrm{m} = 0$ ,
$8\,\mathrm{J} = 2F\,\mathrm{m}$ ,
$8\,\mathrm{N·m} = 2F\,\mathrm{m}$ ,
$F = 4\,\mathrm{N}$ 이다.

이를 ①에 넣으면
$8\,\mathrm{J} - 4\,\mathrm{N·m} = 10h\,\mathrm{kg·m/s^{2}}$ ,
$8\,\mathrm{J} - 4\,\mathrm{J} = 10h\,\mathrm{kg·m/s^{2}}$ ,
$4\,\mathrm{J} = 10h\,\mathrm{kg·m/s^{2}}$ ,
$4\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} = 10h\,\mathrm{kg·m/s^{2}}$ ,
$h = 0.4\,\mathrm{m}$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $3$

$\mathrm{A}$ 가 $2\,\mathrm{m}$ 만큼 이동하는 동안 $\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 변화량 분석:

$\mathrm{A}$ 의 운동 에너지 증가량은 $\dfrac12 \times 1\,\mathrm{kg} \times (5\,\mathrm{m/s})^{2} ={}$ $\dfrac{25}{2}\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $\dfrac{25}{2}\,\mathrm{J}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 가 $2\,\mathrm{m}$ 만큼 이동하는 동안 높이는
$2\,\mathrm{m} \times \sin{30^{\circ}} = 1\,\mathrm{m}$ 만큼 증가하므로
$\mathrm{A}$ 의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은
$1\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times 1\,\mathrm{m} ={}$ $10\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{J}$ 이다.

그러므로 $\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 증가량은
$\dfrac{25}{2}\,\mathrm{J} + 10\,\mathrm{J} = \dfrac{45}{2}\,\mathrm{J}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 가 $2\,\mathrm{m}$ 만큼 이동하는 동안 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 변화량 분석:

$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 실로 연결되어 있으므로 $\mathrm{A}$ 가 $2\,\mathrm{m}$ 만큼 이동하는 동안 $\mathrm{B}$ 도 $2\,\mathrm{m}$ 만큼 이동한다.

이 동안 $\mathrm{B}$ 의 운동 에너지 증가량은
$\dfrac12 \times m \times (5\,\mathrm{m/s})^{2} = \dfrac{25}{2}m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}$ 이다.

$\mathrm{B}$ 는 높이가 $2\,\mathrm{m}$ 만큼 감소하므로 $\mathrm{B}$ 의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은
$m \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times 2\,\mathrm{m} = 20m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}$ 이다.

그러므로 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 감소량은
$20m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}} - \dfrac{25}{2}m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}} = \dfrac{15}{2}m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 의 역학적 에너지 증가량은 $\mathrm{B}$ 의 역학적 에너지 감소량과 같으므로
$\dfrac{45}{2}\,\mathrm{J} = \dfrac{15}{2}m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}$ ,
$\dfrac{45}{2}\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} = \dfrac{15}{2}m\,\mathrm{m^{2}/s^{2}}$ ,
$m = 3\,\mathrm{kg}$ 이다.

따라서 정답은 $3$ 번이다.

¶ 2번 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $2$

$\mathrm{P}$ 와 물체를 접촉시켜 $\mathrm{P}$ 를 압축시킨 후 물체를 가만히 놓을 때 물체에 작용하는 탄성력은 알짜힘에 해당하여
용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지는 모두 물체의 운동 에너지로 전환된다.

용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지는 $E_{\text{탄성}} = \dfrac12k(\Delta x)^{2}$ 이므로 $\mathrm{P}$ 와 분리된 직후 물체의 운동 에너지는
$E_{k} = \dfrac12 \times 300\,\mathrm{N/m} \times (0.2\,\mathrm{m})^{2}$ ,
$E_{k} =$ $6\,\mathrm{N·m} ={}$ $6\,\mathrm{J}$ 이다.

이후 물체는 높이가 $0.5\,\mathrm{m}$ 만큼 감소하여 물체의 중력 퍼텐셜 에너지가 운동 에너지로 전환되는데 물체의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은
$2\,\mathrm{kg} \times 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times 0.5\,\mathrm{m} ={}$ $10\,\mathrm{kg·m^{2}/s^{2}} ={}$ $10\,\mathrm{J}$ 이므로
빗면을 내려온 직후 물체의 운동 에너지는 $6\,\mathrm{J} + 10\,\mathrm{J} = 16\,\mathrm{J}$ 이 된다.

이후 물체는 마찰 구간에 진입하며 마찰 구간에서 물체에 작용하는 알짜힘은 마찰력과 같다.

이때 마찰력은 물체의 운동 방향과 반대로 작용하여 마찰력이 한 일
$6\,\mathrm{N} \times 2\,\mathrm{m} ={}$ $12\,\mathrm{N·m} ={}$ $12\,\mathrm{J}$ 은 물체의 운동 에너지 감소량과 같다.

그러므로 마찰 구간을 빠져나온 직후 물체의 운동 에너지는
$16\,\mathrm{J} - 12\,\mathrm{J} = 4\,\mathrm{J}$ 이다.

이후 물체의 운동 에너지가 모두 $\mathrm{Q}$ 의 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환될 때 물체의 속력이 $0$ 이 되므로 이를 식으로 세우면
$4\,\mathrm{J} = \dfrac12 \times 800\,\mathrm{N/m} \times x^{2}$ ,
$4\,\mathrm{N·m} = 400\,\mathrm{N/m} \times x^{2}$ ,
$x = 0.1\,\mathrm{m}$ 이다.

따라서 정답은 $2$ 번이다.