그림은 질량이 각각 1kg와 9kg인 물체 A와 B를 실로 연결한 후 가만히 놓았더니 A와 B의 높이가 각각 1m만큼 변한 순간을 나타낸 것이다.
이때 A와 B의 속력 v를 구해 보자. (단, 중력 가속도는 10m/s2이고, 실의 질량, 공기 저항과 모든 마찰은 무시한다.)
A와 B가 운동하는 동안 실이 A를 당기는 힘은 A의 운동 방향과 같으므로 A의 역학적 에너지는 증가하고
실이 B를 당기는 힘은 B의 운동 방향과 반대이므로 B의 역학적 에너지는 감소한다.
이때 실이 A를 당기는 힘의 크기와 실이 B를 당기는 힘의 크기는 같으므로 A의 역학적 에너지 증가량은 B의 역학적 에너지 감소량과 같다.
A가 1m만큼 이동하는 동안 A의 역학적 에너지 변화량 분석:
A의 운동 에너지 증가량은 21×1kg×v2=21v2kg이다.
A는 높이가 1m만큼 증가하므로 A의 중력 퍼텐셜 에너지 증가량은 1kg×10m/s2×1m=10kg⋅m2/s2=10J이다.
따라서 A의 역학적 에너지 증가량은 21v2kg+10J이다.
B가 1m만큼 이동하는 동안 B의 역학적 에너지 변화량 분석:
B의 운동 에너지 증가량은 21×9kg×v2=29v2kg이다.
B는 높이가 1m만큼 감소하므로 B의 중력 퍼텐셜 에너지 감소량은 9kg×10m/s2×1m=90kg⋅m2/s2=90J이다.
따라서 B의 역학적 에너지 감소량은 90J−29v2kg이다.
A의 역학적 에너지 증가량은 B의 역학적 에너지 감소량과 같으므로 21v2kg+10J=90J−29v2kg, 5v2kg=80J, v2kg=16J, v2kg=16kg⋅m2/s2, v2=16m2/s2, v=4m/s이다.
용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지가 물체의 역학적 에너지로 전환되는 경우:
그림과 같이 용수철 상수가 200N/m인 용수철에 질량이 2kg인 물체를 접촉시킨 후 0.1m만큼 압축시켜 수평면에 가만히 놓을 때, 용수철과 분리된 후 물체가 v의 속력으로 운동한다. 이때 v를 구해 보자. (단, 물체의 크기, 용수철의 질량, 공기 저항과 모든 마찰은 무시한다.)
용수철은 물체에 탄성력을 작용하므로 물체는 오른쪽으로 운동하기 시작하여 용수철이 원래 길이로 되돌아왔을 때 분리된다.
이 동안 물체에 작용하는 탄성력은 알짜힘에 해당하며 물체의 운동 방향과 탄성력의 방향이 같기 때문에
탄성력이 한 일은 물체의 운동 에너지 증가량과 같다.
따라서 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 감소량은 물체의 운동 에너지 증가량과 같으며,
물체는 용수철이 원래 길이로 되돌아왔을 때 분리되므로 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지는 모두 물체의 운동 에너지로 전환된다.
이를 식으로 세우면 21×200N/m×(0.1m)2=21×2kg×v2, 100N/m×(101m)2=1kg×v2, 100N/m×1001m2=v2kg, 1N⋅m=v2kg, 1kg⋅m2/s2=v2kg, 1m2/s2=v2, v=1m/s이다.
물체의 역학적 에너지가 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환되는 경우:
그림과 같이 질량이 3kg인 물체가 수평면에서 2m/s의 속력으로 등속도 운동을 하다가 용수철 상수가 300N/m인 용수철을 최대 x만큼 압축시킬 때 x를 구해 보자. (단, 물체의 크기, 용수철의 질량, 공기 저항과 모든 마찰은 무시한다.)
물체가 용수철을 압축시킬 때 용수철은 물체에 탄성력을 작용하므로 물체는 왼쪽으로 알짜힘을 받아 속력이 감소한다.
이 동안 물체에 작용하는 탄성력은 알짜힘이며 물체의 운동 방향과 탄성력의 방향이 반대이기 때문에
탄성력이 한 일은 물체의 운동 에너지 감소량과 같다.
따라서 물체의 운동 에너지 감소량은 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지 증가량과 같으며
물체의 운동 에너지가 모두 탄성 퍼텐셜 에너지로 전환될 때 용수철은 최대로 압축된다.
이를 식으로 세우면 21×3kg×(2m/s)2=21×300N/m×x2, 23kg×4m2/s2=150N/m×x2, 6kg⋅m2/s2=150x2N/m, 6N⋅m=150x2N/m, 6m2=150x2, 251m2=x2, x=51m=0.2m이다.
그림과 같이 수평면에서 4m/s의 속력으로 등속도 운동을 하던 질량이 1kg인 물체가 마찰 구간을 지나 높이가 h인 지점에서 속력이 0이 된 후 다시 내려와 마찰 구간의 끝점에서 정지한 것을 나타낸 것이다. 마찰 구간에서 물체가 받는 마찰력의 크기는 일정하고 마찰 구간의 길이가 1m일 때 h와 마찰력의 크기를 구해 보자. (단, 중력 가속도는 10m/s2이고, 물체의 크기, 공기 저항과 마찰 구간 외의 모든 마찰은 무시한다.)
마찰 구간에서 물체에 작용하는 알짜힘은 마찰력과 같고,
마찰력은 물체의 운동 방향과 반대로 작용하므로 마찰력이 한 일은 물체의 운동 에너지 감소량과 같다.
따라서 마찰 구간에서 물체에 작용하는 마찰력의 크기를 F라 할 때 물체가 마찰 구간을 1번 지난 직후 물체의 운동 에너지 Ek는 Ek=21×1kg×(4m/s)2−F×1m Ek=21kg×16m2/s2−Fm Ek=8kg⋅m2/s2−Fm Ek=8J−Fm이다.
물체가 마찰 구간을 지나 높이가 h인 구간에서 속력이 0이 될 때,
운동 에너지가 모두 중력 퍼텐셜 에너지로 전환되므로 이를 식으로 나타내면 8J−Fm=1kg×10m/s2×h 8J−Fm=10kg⋅m/s2×h 8J−Fm=10hkg⋅m/s2이다.⋯①
물체가 높이가 h인 지점에서 수평면으로 다시 내려온 이후 물체는 마찰 구간의 끝점에서 정지하므로 8J−Fm−Fm=0 8J−2Fm=0 8J=2Fm 8N⋅m=2Fm 4N⋅m=Fm F=4N이다.
이를 ①에 넣으면 8J−4N⋅m=10hkg⋅m/s2 8J−4J=10hkg⋅m/s2 4J=10hkg⋅m/s2 4kg⋅m2/s2=10hkg⋅m/s2 4m=10h h=0.4m이다.
