물체가 평형 상태의 조건 을 만족하지 못해 가속도 를 가지는 것이다.
1. 1 . 2. 2 . 1 1 평형 상태의 조건 에 적용하여 평형의 붕괴 지점(시점)을 판단한다.
그림과 같이 두 받침대 위에 놓인 막대가 수평으로 평형을 유지하고 있고, 막대 위에 물체가 놓여 있다. 막대, 물체의 질량 은 각각 1 k g 1 k g 2 k g 2 k g 8 m 8 m x x x x 중력 가속도 는 10 m / s 2 1 0 m / s 2 밀도 는 균일하며, 막대의 두께와 폭, 물체의 크기는 무시한다.)
물체가 막대를 누르는 힘의 크기와 막대의 무게 를 구하면 아래와 같다.
물체가 막대를 누르는 힘의 크기:2 k g × 10 m / s 2 = 2 k g × 1 0 m / s 2 = 20 k g ⋅ m / s 2 = 2 0 k g ⋅ m / s 2 = 20 N 2 0 N
막대의 무게 :1 k g × 10 m / s 2 = 1 k g × 1 0 m / s 2 = 10 k g ⋅ m / s 2 = 1 0 k g ⋅ m / s 2 = 10 N 1 0 N
막대에 작용하는 알짜힘 이 0 0 30 N 3 0 N
1. 1 . x x
평형이 붕괴된 직후 막대의 회전 방향을 통해 붕괴 직전 막대에 작용하는 힘을 구해보자.
물체와 막대를 하나의 계로 볼 때, 계의 질량 중심 이 왼쪽 받침대보다 왼쪽으로 치우치면돌림힘 의 합이 0 0
이때 아래 그림과 같이 왼쪽 받침대만 막대를 떠받치게 되므로, x x 0 0
그러므로 x x x min x m i n
막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점으로 할 때, 막대에 작용하는 각 힘에 의한 돌림힘 을 구하면 아래와 같다.
물체가 막대를 누르는 힘에 의한 돌림힘 :− x min × 20 N = − 20 x min N − x m i n × 2 0 N = − 2 0 x m i n N
막대의 무게 에 의한 돌림힘 :− 4 m × 10 N = − 40 N ⋅ m − 4 m × 1 0 N = − 4 0 N ⋅ m
받침대가 막대를 떠받치는 힘에 의한 돌림힘 :3 m × 30 N = 90 N ⋅ m 3 m × 3 0 N = 9 0 N ⋅ m
막대에 작용하는 돌림힘 의 합이 0 0 − 20 x min N − 40 N ⋅ m + 90 N ⋅ m = 0 − 2 0 x m i n N − 4 0 N ⋅ m + 9 0 N ⋅ m = 0 x min = 5 2 m x m i n = 2 5 m
∘ ∘ 질량 중심 으로 x min x m i n
x x 질량 중심 의 위치는 왼쪽 받침대가 막대를 떠받치는 지점과 같다.
막대, 물체를 각각 1 1 2 2 m 1 = 1 k g m 1 = 1 k g m 2 = 2 k g m 2 = 2 k g
따라서 ∑ i = 1 n m i = 3 k g i = 1 ∑ n m i = 3 k g
막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점이라 하면 r 1 = 4 m r 1 = 4 m r 2 = x min r 2 = x m i n
그러므로 ∑ i = 1 n m i r i = ∑ i = 1 2 m i r i i = 1 ∑ n m i r i = i = 1 ∑ 2 m i r i ∑ i = 1 n m i r i = 4 k g ⋅ m + 2 x min k g i = 1 ∑ n m i r i = 4 k g ⋅ m + 2 x m i n k g
질량 중심 의 위치는 ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i = 3 m i = 1 ∑ n m i i = 1 ∑ n m i r i = 3 m 4 k g ⋅ m + 2 x min k g 3 k g = 3 m 3 k g 4 k g ⋅ m + 2 x m i n k g = 3 m x min = 5 2 m x m i n = 2 5 m
2. 2 . x x
평형이 붕괴된 직후 막대의 회전 방향을 통해 붕괴 직전 막대에 작용하는 힘을 구해보자.
계의 질량 중심 이 오른쪽 받침대보다 오른쪽으로 치우치면돌림힘 의 합이 0 0
이때 아래 그림과 같이 오른쪽 받침대만 막대를 떠받치게 되므로,x x 0 0
그러므로 x x x max x m a x
막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점으로 할 때, 막대에 작용하는 각 힘에 의한 돌림힘 을 구하면 아래와 같다.
물체가 막대를 누르는 힘에 의한 돌림힘 :− x max × 20 N = − 20 x max N − x m a x × 2 0 N = − 2 0 x m a x N
막대의 무게 에 의한 돌림힘 :− 4 m × 10 N = − 40 N ⋅ m − 4 m × 1 0 N = − 4 0 N ⋅ m
받침대가 막대를 떠받치는 힘에 의한 돌림힘 :6 m × 30 N = 180 N ⋅ m 6 m × 3 0 N = 1 8 0 N ⋅ m
막대에 작용하는 돌림힘 의 합이 0 0 − 20 x max N − 40 N ⋅ m + 180 N ⋅ m = 0 − 2 0 x m a x N − 4 0 N ⋅ m + 1 8 0 N ⋅ m = 0 x max = 7 m x m a x = 7 m
∘ ∘ 질량 중심 으로 x max x m a x
x x 질량 중심 의 위치는 오른쪽 받침대가 막대를 떠받치는 지점과 같다.
막대, 물체를 각각 1 1 2 2 m 1 = 1 k g m 1 = 1 k g m 2 = 2 k g m 2 = 2 k g
따라서 ∑ i = 1 n m i = 3 k g i = 1 ∑ n m i = 3 k g
막대의 가장 왼쪽 지점을 기준점이라 하면 r 1 = 4 m r 1 = 4 m r 2 = x max r 2 = x m a x
그러므로 ∑ i = 1 n m i r i = ∑ i = 1 2 m i r i i = 1 ∑ n m i r i = i = 1 ∑ 2 m i r i ∑ i = 1 n m i r i = 4 k g ⋅ m + 2 x max k g i = 1 ∑ n m i r i = 4 k g ⋅ m + 2 x m a x k g
질량 중심 의 위치는 ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i = 6 m i = 1 ∑ n m i i = 1 ∑ n m i r i = 6 m 4 k g ⋅ m + 2 x max k g 3 k g = 6 m 3 k g 4 k g ⋅ m + 2 x m a x k g = 6 m x max = 7 m x m a x = 7 m
1번 문항 정답 및 해설 보기
정답: $2$
A A B B C C 무게 를 구하면 아래와 같다.
A A 무게 : 5 m g 5 m g B B 무게 : 2 m g 2 m g C C 무게 : m g m g
C C 알짜힘 이 0 0 C C 8 m g 8 m g
평형이 붕괴된 직후 C C C C
A A B B C C 질량 중심 이 받침대의 가장 왼쪽 지점보다 왼쪽으로 치우치면C C 돌림힘 의 합이 0 0
이때 아래 그림과 같이 받침대의 가장 왼쪽 지점만 C C x x C C
그러므로 x x x min x m i n
C C C C 돌림힘 을 구하면 아래와 같다.
A A C C 돌림힘 :− ( x min + d 2 ) × 5 m g = − 5 x min m g − 5 2 d m g − ( x m i n + 2 d ) × 5 m g = − 5 x m i n m g − 2 5 d m g B B C C 돌림힘 :− 4 d × 2 m g = − 8 d m g − 4 d × 2 m g = − 8 d m g C C 무게 에 의한 돌림힘 :− 5 2 d × m g = − 5 2 d m g − 2 5 d × m g = − 2 5 d m g 받침대가 C C 돌림힘 :2 d × 8 m g = 16 d m g 2 d × 8 m g = 1 6 d m g
C C 돌림힘 의 합이 0 0 − 5 x min m g − 5 2 d m g − 8 d m g − 5 2 d m g + 16 d m g = 0 − 5 x m i n m g − 2 5 d m g − 8 d m g − 2 5 d m g + 1 6 d m g = 0 x min = 3 5 d x m i n = 5 3 d
∘ ∘ 질량 중심 으로 x min x m i n
x x C C A A B B C C 질량 중심 의 위치는 받침대의 가장 왼쪽 지점과 같다.
A A B B C C 1 1 2 2 3 3 m 1 = 5 m m 1 = 5 m m 2 = 2 m m 2 = 2 m m 3 = m m 3 = m
따라서 ∑ i = 1 n m i = 8 m i = 1 ∑ n m i = 8 m
C C r 1 = x min + d 2 r 1 = x m i n + 2 d r 2 = 4 d r 2 = 4 d r 3 = 5 2 d r 3 = 2 5 d
그러므로 ∑ i = 1 n m i r i = ∑ i = 1 3 m i r i i = 1 ∑ n m i r i = i = 1 ∑ 3 m i r i ∑ i = 1 n m i r i = 5 m x min + 13 m d i = 1 ∑ n m i r i = 5 m x m i n + 1 3 m d
질량 중심 의 위치는 ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i = 2 d i = 1 ∑ n m i i = 1 ∑ n m i r i = 2 d 5 m x min + 13 m d 8 m = 2 d 8 m 5 m x m i n + 1 3 m d = 2 d x min = 3 5 d x m i n = 5 3 d
따라서 정답은 2 2
2번 문항 정답 및 해설 보기
정답: $3$
물체와 가로 빔의 무게 를 구하면 아래와 같다.
가로 빔의 왼쪽에 매달린 물체의 무게 : m g m g
가로 빔의 오른쪽에 매달린 물체의 무게 : m g m g
가로 빔 위에 놓인 물체의 무게 : m g m g
가로 빔의 무게 : m g m g
가로 빔에 작용하는 알짜힘 이 0 0 4 m g 4 m g
1. 1 . x x
평형이 붕괴된 직후 가로 빔의 회전 방향을 통해 붕괴 직전 가로 빔에 작용하는 힘을 구해보자.
가로 빔과 물체를 하나의 계로 볼 때, 계의 질량 중심 이 가로 빔과 받침대가 맞닿아 있는 부분 중 오른쪽 지점보다 오른쪽으로 치우치면 가로 빔에 작용하는 돌림힘 의 합이 0 0
이때 아래 그림과 같이 받침대의 오른쪽 지점만 가로 빔을 떠받치게 되므로,x x 0 0
그러므로 x x x min x m i n
가로 빔의 가장 왼쪽 지점을 기준점으로 할 때, 가로 빔에 작용하는 각 힘에 의한 돌림힘 을 구하면 아래와 같다.
가로 빔 위에 놓인 물체가 미는 힘에 의한 돌림힘 :− ( 4 d + d 2 ) × m g = − 9 2 d m g − ( 4 d + 2 d ) × m g = − 2 9 d m g
왼쪽 줄이 당기는 힘에 의한 돌림힘 :0 × m g = 0 0 × m g = 0
오른쪽 줄이 당기는 힘에 의한 돌림힘 :− ( 11 d − x min ) × m g = − 11 d m g + x min m g − ( 1 1 d − x m i n ) × m g = − 1 1 d m g + x m i n m g
가로 빔의 무게 에 의한 돌림힘 :− 11 2 d × m g = − 11 2 d m g − 2 1 1 d × m g = − 2 1 1 d m g
받침대가 가로 빔을 떠받치는 힘에 의한 돌림힘 :5 d × 4 m g = 20 d m g 5 d × 4 m g = 2 0 d m g
가로 빔에 작용하는 돌림힘 의 합이 0 0 − 9 2 d m g + 0 − 11 d m g + x min m g − 11 2 d m g + 20 d m g = 0 − 2 9 d m g + 0 − 1 1 d m g + x m i n m g − 2 1 1 d m g + 2 0 d m g = 0 x min = d x m i n = d
∘ ∘ 질량 중심 으로 x min x m i n
x x 질량 중심 의 위치는 받침대의 오른쪽 지점과 같다.
가로 빔, 가로 빔의 왼쪽에 줄로 연결된 물체, 가로 빔의 오른쪽에 줄로 연결된 물체, 가로 빔 위의 물체를 각각 1 1 2 2 3 3 4 4 m 1 = m 1 = m 2 = m 2 = m 3 = m 3 = m 4 = m 4 = m m
따라서 ∑ i = 1 n m i = 4 m i = 1 ∑ n m i = 4 m
가로 빔의 가장 왼쪽 지점을 기준점이라 하면r 1 = 11 2 d r 1 = 2 1 1 d r 2 = 0 r 2 = 0 r 3 = 11 d − x min r 3 = 1 1 d − x m i n r 4 = r 4 = 4 d + d 2 = 4 d + 2 d = 9 2 d 2 9 d
그러므로 ∑ i = 1 n m i r i = ∑ i = 1 4 m i r i i = 1 ∑ n m i r i = i = 1 ∑ 4 m i r i ∑ i = 1 n m i r i = 21 m d − x min m i = 1 ∑ n m i r i = 2 1 m d − x m i n m
질량 중심 의 위치는 ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i = 5 d i = 1 ∑ n m i i = 1 ∑ n m i r i = 5 d x min = d x m i n = d
2. 2 . x x
평형이 붕괴된 직후 가로 빔의 회전 방향을 통해 붕괴 직전 가로 빔에 작용하는 힘을 구해보자.
가로 빔과 물체를 하나의 계로 볼 때, 계의 질량 중심 이 가로 빔과 받침대가 맞닿아 있는 부분 중 왼쪽 지점보다 왼쪽으로 치우치면 가로 빔에 작용하는 돌림힘 의 합이 0 0
이때 아래 그림과 같이 받침대의 왼쪽 지점만 가로 빔을 떠받치게 되므로,x x 0 0
그러므로 x x x max x m a x
가로 빔의 가장 왼쪽 지점을 기준점으로 할 때, 가로 빔에 작용하는 각 힘에 의한 돌림힘 을 구하면 아래와 같다.
가로 빔 위에 놓인 물체가 미는 힘에 의한 돌림힘 :− ( 4 d + d 2 ) × m g = − 9 2 d m g − ( 4 d + 2 d ) × m g = − 2 9 d m g
왼쪽 줄이 당기는 힘에 의한 돌림힘 :0 × m g = 0 0 × m g = 0
오른쪽 줄이 당기는 힘에 의한 돌림힘 :− ( 11 d − x max ) × m g = − 11 d m g + x max m g − ( 1 1 d − x m a x ) × m g = − 1 1 d m g + x m a x m g
가로 빔의 무게 에 의한 돌림힘 :− 11 2 d × m g = − 11 2 d m g − 2 1 1 d × m g = − 2 1 1 d m g
받침대가 가로 빔을 떠받치는 힘에 의한 돌림힘 :4 d × 4 m g = 16 d m g 4 d × 4 m g = 1 6 d m g
가로 빔에 작용하는 돌림힘 의 합이 0 0 − 9 2 d m g + 0 − 11 d m g + x max m g − 11 2 d m g + 16 d m g = 0 − 2 9 d m g + 0 − 1 1 d m g + x m a x m g − 2 1 1 d m g + 1 6 d m g = 0 x max = 5 d x m a x = 5 d
∘ ∘ 질량 중심 으로 x max x m a x
x x 질량 중심 의 위치는 받침대의 왼쪽 지점과 같다.
가로 빔, 가로 빔의 왼쪽에 줄로 연결된 물체, 가로 빔의 오른쪽에 줄로 연결된 물체, 가로 빔 위의 물체를 각각 1 1 2 2 3 3 4 4 m 1 = m 1 = m 2 = m 2 = m 3 = m 3 = m 4 = m 4 = m m
따라서 ∑ i = 1 n m i = 4 m i = 1 ∑ n m i = 4 m
가로 빔의 가장 왼쪽 지점을 기준점이라 하면 r 1 = 11 2 d r 1 = 2 1 1 d r 2 = 0 r 2 = 0 r 3 = 11 d − x max r 3 = 1 1 d − x m a x r 4 = r 4 = 4 d + d 2 = 4 d + 2 d = 9 2 d 2 9 d
그러므로 ∑ i = 1 n m i r i = ∑ i = 1 4 m i r i i = 1 ∑ n m i r i = i = 1 ∑ 4 m i r i ∑ i = 1 n m i r i = 21 m d − x max m i = 1 ∑ n m i r i = 2 1 m d − x m a x m
질량 중심 의 위치는 ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i = 4 d i = 1 ∑ n m i i = 1 ∑ n m i r i = 4 d x max = 5 d x m a x = 5 d
그러므로 x min + x max = 6 d x m i n + x m a x = 6 d
따라서 정답은 3 3
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