¶ 지식 정보
| 해당 지식 | |
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¶ xy 평면에서의 충돌
평면(차원)에서의 충돌은 물체의 운동량을 , 성분으로 분해하여 각각 운동량 보존 법칙을 적용한다.
그림 (가)는 마찰이 없고 수평인 평면에서 물체 가 원점에 정지해 있는 물체 를 향해 축을 따라 속력 로 등속도 운동하는 모습을,
(나)는 (가)에서 와 가 충돌한 후 축과 각각 , 의 각을 이루며 속력이 각각 , 인 모습을 나타낸 것이다.
와 의 질량이 각각 , 일 때, 운동량 보존 법칙을 적용해 보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)
축 방향을 양으로 할 때, 충돌 전후 , 의 운동량을 , 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.
| 구분 | 물체 | $x$ 성분 | $y$ 성분 |
|---|---|---|---|
| 충돌 전 | $\mathrm{A}$ | $m_{\mathrm{A}}v_{0}$ | $0$ |
| $\mathrm{B}$ | $0$ | $0$ | |
| 충돌 후 | $\mathrm{A}$ | $m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}\cos\theta_{1}$ | $m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}\sin\theta_{1}$ |
| $\mathrm{B}$ | $m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}\cos\theta_{2}$ | $- m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}\sin\theta_{2}$ |
운동량 보존 법칙을 , 성분에 각각 적용한다.
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
¶ xy 평면에서의 충돌 예시
그림 (가)는 마찰이 없고 수평인 평면에서 물체 가 원점에 정지해 있는 물체 를 향해 축을 따라 속력 로 등속도 운동하는 모습을,
(나)는 (가)에서 물체 와 가 충돌한 후 , 는 축과 각각 , 의 각을 이루며 속력이 각각 , 인 모습을 나타낸 것이다.
와 의 질량이 으로 같을 때, 와 를 구해보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)
축 방향을 양으로 할 때, 충돌 전후 , 의 운동량을 , 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.
| 구분 | 물체 | $x$ 성분 | $y$ 성분 |
|---|---|---|---|
| 충돌 전 | $\mathrm{A}$ | $v_{0}\,\mathrm{kg}$ | $0$ |
| $\mathrm{B}$ | $0$ | $0$ | |
| 충돌 후 | $\mathrm{A}$ |
$4\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s} \times \cos30^{\circ}$ $=6\,\mathrm{kg·m/s}$ |
$4\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s} \times \sin30^{\circ}$ $=2\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$ |
| $\mathrm{B}$ |
$v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg} \times \cos60^{\circ}$ $=\dfrac{1}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ |
$-v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg} \times \sin60^{\circ}$ $=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ |
운동량 보존 법칙을 , 성분에 각각 적용한다.
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
⋯①
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
,
이다.
이를 ①에 넣으면
에서
,
이다.
¶ 적용 문항
¶ 1번 문항
정답: $2$
축 방향을 양, 의 질량을 라 하고, 충돌 전후 , 의 운동량을 , 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.
| 구분 | 물체 | $x$ 성분 | $y$ 성분 |
|---|---|---|---|
| 충돌 전 | $\mathrm{A}$ | $\sqrt{3}m_{\mathrm{A}}\,\mathrm{m/s}$ | $0$ |
| $\mathrm{B}$ | $0$ | $0$ | |
| 충돌 후 | $\mathrm{A}$ |
$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} \times \cos30^{\circ}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}$ |
$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} \times \sin30^{\circ}$ $=\dfrac{1}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}$ |
| $\mathrm{B}$ |
$2\,\mathrm{kg·m/s} \times \cos30^{\circ}$ $=\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$ |
$-2\,\mathrm{kg·m/s} \times \sin30^{\circ}$ $=-1\,\mathrm{kg·m/s}$ |
운동량 보존 법칙을 , 성분에 각각 적용한다.
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
⋯①
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
,
⋯②이다.
이를 ①에 넣으면
에서
,
,
이다.
이를 ②에 넣으면,
에서
,
이다.
따라서 정답은 번이다.
¶ 2번 문항
정답: $2$
축 방향을 양, 의 질량을 라 하고, 충돌 전후 , 의 운동량을 , 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.
| 구분 | 물체 | $x$ 성분 | $y$ 성분 |
|---|---|---|---|
| 충돌 전 | $\mathrm{A}$ |
$2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s} \times \cos45^{\circ}$ $=2\,\mathrm{kg·m/s}$ |
$-2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s} \times \sin45^{\circ}$ $=-2\,\mathrm{kg·m/s}$ |
| $\mathrm{B}$ |
$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \times \cos45^{\circ}$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}$ |
$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \times \sin45^{\circ}$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}$ |
|
| 충돌 후 | $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 합쳐진 덩어리 | $\dfrac{4}{3}\left(1\,\mathrm{kg}+m_{\mathrm{B}}\right)\,\mathrm{m/s}$ | $0$ |
운동량 보존 법칙을 , 성분에 각각 적용한다.
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
⋯①
- 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
,
⋯②이다.
이를 ①에 넣으면
에서
,
이다.
이를 ②에 넣으면
에서
,
이다.
따라서 정답은 번이다.