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이차원 평면에서 충돌 전후 물체의 운동량 성분 분해와 각 성분의 운동량 보존 법칙 적용을 설명합니다.
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운동량 심화

¶ 지식 정보

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이차원 평면에서 충돌 전후 물체의 운동량 성분 분해와 각 성분의 운동량 보존 법칙 적용을 설명합니다.
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¶ xy 평면에서의 충돌

$x y$ 평면( $2$ 차원)에서의 충돌에서는 물체의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하여 각각 운동량 보존 법칙을 적용한다.

그림 (가)는 마찰이 없고 수평인 $x y$ 평면에서 물체 $\mathrm{A}$ 가 원점에 정지해 있는 물체 $\mathrm{B}$ 를 향해 $x$ 축을 따라 속력 $v_{0}$ 로 등속도 운동하는 모습을,
(나)는 (가)에서 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 가 충돌한 후 $x$ 축과 각각 $\theta_{1}$ , $\theta_{2}$ 의 각을 이루며 속력이 각각 $v_{\mathrm{A}}$ , $v_{\mathrm{B}}$ 인 모습을 나타낸 것이다.
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 질량이 각각 $m_{\mathrm{A}}$ , $m_{\mathrm{B}}$ 일 때, 운동량 보존 법칙을 적용해 보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)

축 방향을 양 $(+)$ 으로 할 때, 충돌 전후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.

구분	물체	$x$ 성분	$y$ 성분
충돌 전	$\mathrm{A}$	$m_{\mathrm{A}}v_{0}$	$0$
충돌 전	$\mathrm{B}$	$0$	$0$
충돌 후	$\mathrm{A}$	$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}\cos\theta_{1}$	$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}\sin\theta_{1}$
충돌 후	$\mathrm{B}$	$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}\cos\theta_{2}$	$-m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}\sin\theta_{2}$

운동량 보존 법칙을 $x$ , $y$ 성분에 각각 적용한다.

$x$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$m_{\mathrm{A}}v_{0} = m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}\cos\theta_{1} + m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}\cos\theta_{2}$
$y$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$0 = m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}\sin\theta_{1} - m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}\sin\theta_{2}$

¶ xy 평면에서의 충돌 예시

그림 (가)는 마찰이 없고 수평인 $x y$ 평면에서 물체 $\mathrm{A}$ 가 원점에 정지해 있는 물체 $\mathrm{B}$ 를 향해 $x$ 축을 따라 속력 $v_{0}$ 로 등속도 운동하는 모습을,
(나)는 (가)에서 물체 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 가 충돌한 후 $x$ 축과 각각 $30^{\circ}$ , $60^{\circ}$ 의 각을 이루며 속력이 각각 $4\sqrt{3}\,\mathrm{m/s}$ , $v_{\mathrm{B}}$ 인 모습을 나타낸 것이다.
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 질량이 $1\,\mathrm{kg}$ 으로 같을 때, $v_{0}$ 와 $v_{\mathrm{B}}$ 를 구해 보자. (단, 물체의 크기는 무시한다.)

두 물체 A와 B의 질량 및 속도 벡터를 좌표축에 나타낸 운동량 diagram

축 방향을 양 $(+)$ 으로 할 때, 충돌 전후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.

구분	물체	$x$ 성분	$y$ 성분
충돌 전	$\mathrm{A}$	$v_{0}\,\mathrm{kg}$	$0$
충돌 전	$\mathrm{B}$	$0$	$0$
충돌 후	$\mathrm{A}$	$4\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s} \times \cos{30^{\circ}}$ $= 6\,\mathrm{kg·m/s}$	$4\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s} \times \sin{30^{\circ}}$ $= 2\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$
충돌 후	$\mathrm{B}$	$v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg} \times \cos{60^{\circ}}$ $= \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$	$-v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg} \times \sin{60^{\circ}}$ $= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$

운동량 보존 법칙을 $x$ , $y$ 성분에 각각 적용한다.

$x$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$v_{0}\,\mathrm{kg} = 6\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ ⋯①
$y$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$0 = 2\sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ ,
$v_{\mathrm{B}} = 4\,\mathrm{m/s}$ 이다.

이를 ①에 넣으면
$v_{0}\,\mathrm{kg} = 6\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{1}{2}v_{\mathrm{B}}\,\mathrm{kg}$ 에서
$v_{0}\,\mathrm{kg} = 6\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{1}{2} \times 4\,\mathrm{kg·m/s}$ ,
$v_{0} = 8\,\mathrm{m/s}$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

마찰 없는 평면에서 충돌 전후 물체 A와 B의 속도 벡터를 나타낸 운동량 보존 문제

1번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $2$

축 방향을 양 $(+)$ 으로 하고, $\mathrm{A}$ 의 질량을 $m_{\mathrm{A}}$ 라 할 때, 충돌 전후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.

구분	물체	$x$ 성분	$y$ 성분
충돌 전	$\mathrm{A}$	$\sqrt{3}m_{\mathrm{A}}\,\mathrm{m/s}$	$0$
충돌 전	$\mathrm{B}$	$0$	$0$
충돌 후	$\mathrm{A}$	$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} \times \cos{30^{\circ}}$ $= \dfrac{\sqrt{3}}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}$	$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} \times \sin{30^{\circ}}$ $= \dfrac{1}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}}$
충돌 후	$\mathrm{B}$	$2\,\mathrm{kg·m/s} \times \cos{30^{\circ}}$ $= \sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$	$-2\,\mathrm{kg·m/s} \times \sin{30^{\circ}}$ $= -1\,\mathrm{kg·m/s}$

운동량 보존 법칙을 $x$ , $y$ 성분에 각각 적용한다.

$x$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$\sqrt{3}m_{\mathrm{A}}\,\mathrm{m/s} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} + \sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$ ⋯①
$y$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$0 = \dfrac{1}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} - 1\,\mathrm{kg·m/s}$ ,
$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} = 2\,\mathrm{kg·m/s}$ ⋯②이다.

이를 ①에 넣으면
$\sqrt{3}m_{\mathrm{A}}\,\mathrm{m/s} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} + \sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$ 에서
$\sqrt{3}m_{\mathrm{A}}\,\mathrm{m/s} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2\,\mathrm{kg·m/s} + \sqrt{3}\,\mathrm{kg·m/s}$ ,
$m_{\mathrm{A}} = 2\,\mathrm{kg}$ 이다.

이를 ②에 넣으면
$m_{\mathrm{A}}v_{\mathrm{A}} = 2\,\mathrm{kg·m/s}$ 에서
$2\,\mathrm{kg} \times v_{\mathrm{A}} = 2\,\mathrm{kg·m/s}$ ,
$v_{\mathrm{A}} = 1\,\mathrm{m/s}$ 이다.

따라서 정답은 $2$ 번이다.

¶ 2번 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $2$

축 방향을 양 $(+)$ 으로 하고, $\mathrm{B}$ 의 질량을 $m_{\mathrm{B}}$ 라 할 때, 충돌 전후 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 운동량을 $x$ , $y$ 성분으로 분해하면 아래 그림과 표와 같다.

구분	물체	$x$ 성분	$y$ 성분
충돌 전	$\mathrm{A}$	$2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s} \times \cos{45^{\circ}}$ $= 2\,\mathrm{kg·m/s}$	$-2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s} \times \sin{45^{\circ}}$ $= -2\,\mathrm{kg·m/s}$
충돌 전	$\mathrm{B}$	$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \times \cos{45^{\circ}}$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}$	$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} \times \sin{45^{\circ}}$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}}$
충돌 후	$\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$가 합쳐진 덩어리	$\dfrac{4}{3}\left(1\,\mathrm{kg} + m_{\mathrm{B}}\right)\,\mathrm{m/s}$	$0$

운동량 보존 법칙을 $x$ , $y$ 성분에 각각 적용한다.

$x$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$2\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} = \dfrac{4}{3}(1\,\mathrm{kg} + m_{\mathrm{B}})\,\mathrm{m/s}$ ⋯①
$y$ 성분에 운동량 보존 법칙 적용:
$-2\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} = 0$ ,
$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} = 2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s}$ ⋯②이다.

이를 ①에 넣으면
$2\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} = \dfrac{4}{3}(1\,\mathrm{kg} + m_{\mathrm{B}})\,\mathrm{m/s}$ 에서
$2\,\mathrm{kg·m/s} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s} = \dfrac{4}{3}(1\,\mathrm{kg} + m_{\mathrm{B}})\,\mathrm{m/s}$ ,
$m_{\mathrm{B}} = 2\,\mathrm{kg}$ 이다.

이를 ②에 넣으면
$m_{\mathrm{B}}v_{\mathrm{B}} = 2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s}$ 에서
$2\,\mathrm{kg} \times v_{\mathrm{B}} = 2\sqrt{2}\,\mathrm{kg·m/s}$ ,
$v_{\mathrm{B}} = \sqrt{2}\,\mathrm{m/s}$ 이다.

따라서 정답은 $2$ 번이다.