¶ 지식 정보

¶ 등속 원운동

원 궤도를 따라 일정한 속력으로 회전하는 운동이다.

¶ 주기와 진동수

원운동에서 주기는 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간이고,
진동수는 단위 시간 동안의 회전 수이다.

주기는 기호로 $TT$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{s}\backslash mathrm\{s\}$를 사용한다.
진동수는 기호로 $ff$로 나타내고, 단위는 주로 ${\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{H}\mathrm{z}\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\; =\; \backslash mathrm\{Hz\}$를 사용한다.

진동수의 단위 $\mathrm{H}\mathrm{z}\backslash mathrm\{Hz\}$는 '헤르츠'로 읽는다.

진동수와 주기는 서로 역수 관계이기 때문에 $f={\displaystyle \frac{1}{T}}f\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{T\}$ 또는 $T={\displaystyle \frac{1}{f}}T\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{f\}$이다.

¶ 주기와 진동수 예시

그림은 등속 원운동하는 물체가 $11$초 동안 $30^{\circ }30^\{\backslash circ\}$만큼 회전한 것을 나타낸 것이다.
이때 원운동의 주기와 진동수를 구해보자.

• 주기 구하기:
  $11$초 동안 물체는 $30^{\circ }30^\{\backslash circ\}$만큼 회전하므로 물체가 한 바퀴$(360^{\circ })(360^\{\backslash circ\})$ 회전하는 데 걸리는 시간은 $1212$초이다.
  주기는 한 바퀴 회전하는 데 걸리는 시간을 의미하므로, 원운동의 주기는 $1212$초이다.

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• 진동수 구하기:
  진동수는 단위 시간 동안의 회전 수이고 $30^{\circ }30^\{\backslash circ\}$는 ${\displaystyle \frac{30^{\circ }}{360^{\circ }}}={\displaystyle \frac{1}{12}}\backslash dfrac\{30^\{\backslash circ\}\}\{360^\{\backslash circ\}\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{12\}$바퀴이므로, 원운동의 진동수는 ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{12}}\text{(바퀴)}}{1\mathrm{s}}}=\backslash dfrac\{\backslash dfrac\{1\}\{12\}\backslash text\{(바퀴)\}\}\{1\backslash ,\backslash mathrm\{s\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{12}}{\mathrm{s}}^{-1}=\backslash dfrac\{1\}\{12\}\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{H}\mathrm{z}\backslash dfrac\{1\}\{12\}\backslash ,\backslash mathrm\{Hz\}$이다.

주기는 $1212$초이고 진동수는 ${\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{H}\mathrm{z}\backslash dfrac\{1\}\{12\}\backslash ,\backslash mathrm\{Hz\}$이므로, 둘이 서로 역수 관계에 있음을 확인할 수 있다.

¶ 각속도

단위 시간 동안의 중심각 변화이다.
기호로 $\omega \backslash omega$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\backslash mathrm\{rad/s\}$를 사용한다. $\omega \backslash omega$는 '오메가'로 읽는다.

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\backslash mathrm\{rad/s\}$에서 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\backslash mathrm\{rad\}$은 각도를 나타내는 비율이므로 다른 단위와 연산 시 사라진다.

등속 원운동하는 물체가 시간 $tt$ 동안 각도 $\theta \backslash theta$만큼 회전하면 물체의 각속도의 크기는 ${\displaystyle \frac{\theta }{t}}\backslash dfrac\{\backslash theta\}\{t\}$이다.

¶ 각속도와 속력의 관계

그림과 같이 속력 $vv$로 등속 원운동하는 물체가 시간 $tt$ 동안 반지름이 $rr$인 원 궤도를 따라 $\theta \backslash theta$만큼 회전하였다.

$tt$ 동안 물체가 이동한 거리는 $r\theta r\backslash theta$이므로 $v={\displaystyle \frac{\text{이동 거리}}{\text{걸린 시간}}}={\displaystyle \frac{r\theta }{t}}=r\omega v\; =\; \backslash dfrac\{\backslash text\{이동\; 거리\}\}\{\backslash text\{걸린\; 시간\}\}\; =\; \backslash dfrac\{r\backslash theta\}\{t\}\; =\; r\backslash omega$이다.

¶ 각속도와 진동수, 주기와의 관계

주기 $TT$로 등속 원운동하는 물체는 $TT$(한 바퀴 회전하는 데 걸린 시간) 동안 $2\pi 2\backslash pi$($11$바퀴)만큼 회전하므로
$\omega =\backslash omega\; =\{\}$${\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{T}}=\backslash dfrac\{2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}\}\{T\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=\backslash dfrac\{2\backslash pi\}\{T\}\; =\{\}$$2\pi f2\backslash pi\; f$이다.

$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\backslash mathrm\{rad\}$은 각도를 나타내는 비율이므로 생략할 수 있다.

¶ 각속도 예시

그림은 등속 원운동하는 물체가 $11$초 동안 $60^{\circ }60^\{\backslash circ\}$만큼 회전한 것을 나타낸 것이다.
원 궤도의 반지름이 $3\mathrm{m}3\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$일 때, 원운동의 주기, 진동수와 물체의 각속도의 크기, 속력을 구해보자.

• 주기 구하기:
  $11$초 동안 물체는 $60^{\circ }60^\{\backslash circ\}$만큼 회전하므로 물체가 한 바퀴$(360^{\circ })(360^\{\backslash circ\})$ 회전하는 데 걸리는 시간은 $66$초이고, 이는 원운동의 주기에 해당한다.

• 진동수 구하기:
  진동수는 주기의 역수에 해당하므로 원운동의 진동수는 ${\displaystyle \frac{1}{6}}{\mathrm{s}}^{-1}=\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{H}\mathrm{z}\backslash dfrac\{1\}\{6\}\backslash ,\backslash mathrm\{Hz\}$이다.

• 각속도의 크기 구하기:
  원운동 주기를 $TT$, 진동수를 $ff$라 할 때, 물체의 각속도의 크기 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{T}}=2\pi f\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\backslash omega\; =\; \backslash dfrac\{2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}\}\{T\}\; =\; 2\backslash pi\; f\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}$이므로, $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{6\mathrm{s}}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\backslash omega\; =\; \backslash dfrac\{2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}\}\{6\backslash ,\backslash mathrm\{s\}\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash ,\backslash mathrm\{rad/s\}$이다.

• 속력 구하기:
  회전 반지름을 $rr$이라 할 때, 물체의 속력 $v=r\omega v\; =\; r\backslash omega$이므로 $v=3\mathrm{m}\times {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}=\pi \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}v\; =\; 3\backslash ,\backslash mathrm\{m\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash ,\backslash mathrm\{rad/s\}\; =\; \backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$이다.

¶ 구심 가속도와 구심력

등속 원운동하는 물체의 속력은 일정하지만, 운동 방향이 변하기 때문에 물체에는 알짜힘이 작용한다.

이때 구심 가속도는 물체의 가속도이고,
구심력은 물체에 작용하는 알짜힘이며,
물체의 가속도와 알짜힘의 방향은 회전 중심 방향이다.
구심 가속도는 기호로 $\overrightarrow{a}\backslash overrightarrow\{a\}$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\backslash mathrm\{m/s^\{2\}\}$을 사용한다.
구심력은 기호로 ${\overrightarrow{F}}_{\text{구심}}\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash text\{구심\}\}$로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{N}\backslash mathrm\{N\}$을 사용한다.

등속 원운동하는 물체의 구심 가속도의 크기 $a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}a\; =\; \backslash dfrac\{v^\{2\}\}\{r\}$이고, 가속도 법칙$({\overrightarrow{F}}_{\text{알짜}}=m\overrightarrow{a})(\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash text\{알짜\}\}\; =\; m\backslash overrightarrow\{a\})$에 의해
물체에 작용하는 구심력(알짜힘)의 크기를 $F_{\text{구심}}F\_\{\backslash text\{구심\}\}$, 물체의 질량, 회전 반지름, 속력을 각각 $mm$, $rr$, $vv$라 하면,
$F_{\text{구심}}=m\times {\displaystyle \frac{v^2}{r}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}F\_\{\backslash text\{구심\}\}\; =\; m\; \backslash times\; \backslash dfrac\{v^\{2\}\}\{r\}\; =\; \backslash dfrac\{mv^\{2\}\}\{r\}$이다.

¶ 구심 가속도와 구심력 예시

그림은 질량이 $2\mathrm{k}\mathrm{g}2\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}$인 물체에 크기가 $FF$인 구심력이 작용하여 반지름이 $4\mathrm{m}4\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$인 원 궤도를 따라 등속 원운동하는 것을 나타낸 것이다.
원운동의 주기가 $44$초일 때, 물체의 각속도의 크기, 속력, 구심 가속도의 크기, 구심력의 크기를 구해보자.

• 각속도의 크기 구하기:
  원운동 주기를 $TT$, 진동수를 $ff$라 할 때, 물체의 각속도의 크기 $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{T}}=2\pi f\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\backslash omega\; =\; \backslash dfrac\{2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}\}\{T\}\; =\; 2\backslash pi\; f\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}$이므로,
  $\omega =\backslash omega\; =\{\}$${\displaystyle \frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{4\mathrm{s}}}=\backslash dfrac\{2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{rad\}\}\{4\backslash ,\backslash mathrm\{s\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\mathrm{s}}^{-1}=\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{s^\{-1\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{rad/s\}$이다.

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• 속력 구하기:
  회전 반지름을 $rr$이라 할 때, 물체의 속력 $v=r\omega v\; =\; r\backslash omega$이므로
  $v=4\mathrm{m}\times {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}=2\pi \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}v\; =\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{m\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{rad/s\}\; =\; 2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$이다.

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• 구심 가속도의 크기 구하기:
  등속 원운동하는 물체의 구심 가속도의 크기 $a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}a\; =\; \backslash dfrac\{v^\{2\}\}\{r\}$이므로
  $a=a\; =\{\}$${\displaystyle \frac{(2\pi \mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}{)}^2}{4\mathrm{m}}}=\backslash dfrac\{(2\backslash pi\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\})^\{2\}\}\{4\backslash ,\backslash mathrm\{m\}\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{4{\pi }^2{\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2}{4\mathrm{m}}}=\backslash dfrac\{4\backslash pi^\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{m^\{2\}/s^\{2\}\}\}\{4\backslash ,\backslash mathrm\{m\}\}\; =\{\}$${\pi }^2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2\backslash pi^\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{m/s^\{2\}\}$이다.

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• 구심력의 크기 구하기:
  가속도 법칙$({\overrightarrow{F}}_{\text{알짜}}=m\overrightarrow{a})(\backslash overrightarrow\{F\}\_\{\backslash text\{알짜\}\}\; =\; m\backslash overrightarrow\{a\})$에 의해
  $F=F\; =\{\}$$2\mathrm{k}\mathrm{g}\times {\pi }^2\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=2\backslash ,\backslash mathrm\{kg\}\; \backslash times\; \backslash pi^\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{m/s^\{2\}\}\; =\{\}$$2{\pi }^2\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=2\backslash pi^\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{kg·m/s^\{2\}\}\; =\{\}$$2{\pi }^2\mathrm{N}2\backslash pi^\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{N\}$이다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항