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관찰자를 기준으로 달라지는 운동하는 물체의 속도와 두 관찰자가 서로 본 속도의 크기와 방향이 반대인 관계를 설명합니다.
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상대 속도

¶ 지식 정보

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관찰자를 기준으로 달라지는 운동하는 물체의 속도와 두 관찰자가 서로 본 속도의 크기와 방향이 반대인 관계를 설명합니다.
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¶ 상대 속도

어느 관찰자를 기준으로 한 물체의 속도이다.
$\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도를 $\mathrm{A}$ 에 대한 $\mathrm{B}$ 의 속도라 하고, 기호로 $v_{\mathrm{AB}}$ 로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{m/s}$ 를 사용한다.

버스 안에서 밖을 볼 때 본인은 정지해 있는데 나무가 움직이는 것처럼 보이듯이,
관찰자는 자신이 정지해 있다고 생각하여 관찰자의 속도에 따라 상대 속도가 달라진다.

관찰자 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 각각 $v_{\mathrm{A}}$ , $v_{\mathrm{B}}$ 의 속도로 운동할 때, $\mathrm{A}$ 에 대한 $\mathrm{B}$ 의 속도( $\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도)는 $v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}}$ 이다.

$\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도 $v_{\mathrm{AB}} = v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}}$ 와 $\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 의 속도 $v_{\mathrm{BA}} = v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ 는 크기가 같고 방향이 반대이다.

¶ 상대 속도 예시

¶ 두 물체가 등속도 운동을 하는 경우

그림과 같이 직선 도로에서 시간 $t = 0$ 일 때 등속도 운동을 하는 자동차 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 각각 $15\,\mathrm{m/s}$ , $5\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 기준선 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 를 동시에 지난다.
$\mathrm{P}$ 와 $\mathrm{Q}$ 사이의 거리는 $30\,\mathrm{m}$ 이고, $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 $t = x$ 일 때 스쳐 지나간다. $x$ 를 구해보자. (단, $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 크기는 무시한다.)

$\mathrm{A}$ 가 관찰자인 경우:

$\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}}$ 이므로 오른쪽 방향을 양 $(+)$ 으로 할 때,
$v_{\mathrm{AB}} = 5\,\mathrm{m/s} - 15\,\mathrm{m/s} = -10\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 아래 그림과 같이 $\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 는 $10\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 왼쪽 방향( $\mathrm{A}$ 에 가까워지는 방향)으로 운동한다.

정지한 관찰자 A와 왼쪽으로 10 m/s로 움직이는 자동차 B의 상대 운동 그림

따라서
$x = \dfrac{30\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{m/s}}$ ,
$x = \dfrac{3}{1/\mathrm{s}}$ ,
$x = \dfrac{3 \times \mathrm{s}}{(1/\mathrm{s}) \times \mathrm{s}}$ ,
$x = 3\,\mathrm{s}$ 이다.

$\mathrm{B}$ 가 관찰자인 경우:

$\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ 이므로 오른쪽 방향을 양 $(+)$ 으로 할 때,
$v_{\mathrm{BA}} = 15\,\mathrm{m/s} - 5\,\mathrm{m/s} = 10\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 아래 그림과 같이 $\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 는 $10\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 오른쪽 방향( $\mathrm{B}$ 에 가까워지는 방향)으로 운동한다.

A 차량이 오른쪽으로 10m/s로 이동하고 B 차량을 관찰하는 상대 속도 그림

따라서
$x = \dfrac{30\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{m/s}}$ ,
$x = \dfrac{3}{1/\mathrm{s}}$ ,
$x = \dfrac{3 \times \mathrm{s}}{(1/\mathrm{s}) \times \mathrm{s}}$ ,
$x = 3\,\mathrm{s}$ 이다.

¶ 두 물체가 같은 가속도로 등가속도 운동을 하는 경우

그림과 같이 빗면에서 시간 $t = 0$ 일 때 등가속도 운동을 하는 물체 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 가 각각 $4\,\mathrm{m/s}$ , $1\,\mathrm{m/s}$ 의 속력으로 점 $\mathrm{p}$ , $\mathrm{q}$ 를 동시에 지난다.
$\mathrm{p}$ 와 $\mathrm{q}$ 사이의 거리는 $6\,\mathrm{m}$ 이고, $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 $t = x$ 일 때 만난다. $x$ 를 구해보자. (단, $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 는 동일 연직면상에서 운동하며, 물체의 크기, 마찰과 공기 저항은 무시한다.)

빗면을 올라가는 방향을 양 $(+)$ 으로 하고, 빗면에서 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 가속도의 크기를 $a$ 라 하면, $t = x$ 일 때,
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 속도는 각각 $(4\,\mathrm{m/s} - ax)$ , $(1\,\mathrm{m/s} - ax)$ 이다.

다음으로 $t = x$ 일 때, $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 상대 속도를 구해보자.

$\mathrm{A}$ 가 관찰자인 경우:

$\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}}$ 이므로
$v_{\mathrm{AB}} = 1\,\mathrm{m/s} - ax - (4\,\mathrm{m/s} - ax)$ ,
$v_{\mathrm{AB}} = -3\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 아래 그림과 같이 $\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 는 $3\,\mathrm{m/s}$ 의 일정한 속력으로 빗면을 내려가는 방향으로 운동한다.

따라서
$x = \dfrac{6\,\mathrm{m}}{3\,\mathrm{m/s}}$ ,
$x = \dfrac{2}{1/\mathrm{s}}$ ,
$x = \dfrac{2 \times \mathrm{s}}{(1/\mathrm{s}) \times \mathrm{s}}$ ,
$x = 2\,\mathrm{s}$ 이다.

$\mathrm{B}$ 가 관찰자인 경우:

$\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ 이므로
$v_{\mathrm{BA}} = 4\,\mathrm{m/s} - ax - (1\,\mathrm{m/s} - ax)$ ,
$v_{\mathrm{BA}} = 3\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 아래 그림과 같이 $\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 는 $3\,\mathrm{m/s}$ 의 일정한 속력으로 빗면을 올라가는 방향으로 운동한다.

따라서
$x = \dfrac{6\,\mathrm{m}}{3\,\mathrm{m/s}}$ ,
$x = \dfrac{2}{1/\mathrm{s}}$ ,
$x = \dfrac{2 \times \mathrm{s}}{(1/\mathrm{s}) \times \mathrm{s}}$ ,
$x = 2\,\mathrm{s}$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

¶ 2번 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $3$

중력 가속도의 크기를 $g$ , 빗면의 경사각을 $\theta$ 라 하면 빗면 위의 물체의 가속도의 크기는 $g\sin\theta$ 이므로
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 가속도의 크기는 $g\sin\theta = 10\,\mathrm{m/s^{2}} \times \sin{30^{\circ}} = 5\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이다.

빗면을 올라가는 방향을 양 $(+)$ 으로 하면, $\mathrm{A}$ 가 $\mathrm{p}$ 를 지나고 $\mathrm{B}$ 를 $\mathrm{q}$ 에 놓은 순간부터 시간 $t$ 만큼 지났을 때,
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 속도는 각각 $(10\,\mathrm{m/s} - 5t\,\mathrm{m/s^{2}})$ , $-5t\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이다.

다음으로 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 상대 속도를 구해보자.

$\circ$ $\mathrm{A}$ 가 관찰자인 경우:

$\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{B}} - v_{\mathrm{A}}$ 이므로
$v_{\mathrm{AB}} = -5t\,\mathrm{m/s^{2}} - (10\,\mathrm{m/s} - 5t\,\mathrm{m/s^{2}})$ ,
$v_{\mathrm{AB}} = -10\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 아래 그림과 같이 $\mathrm{A}$ 가 봤을 때 $\mathrm{B}$ 는 $10\,\mathrm{m/s}$ 의 일정한 속력으로 빗면을 내려가는 방향으로 운동한다.

경사면 위 두 블록 A와 B, B의 10m/s 속도 화살표 및 관찰자 문구

$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 사이의 거리는 $1\,\mathrm{s}$ 동안 $10\,\mathrm{m}$ 씩 줄어들므로 $\mathrm{A}$ 가 $\mathrm{p}$ 를 지나고 $\mathrm{B}$ 를 $\mathrm{q}$ 에 놓은 순간부터 만날 때까지 걸린 시간을 $x$ 라 할 때,
$x = \dfrac{60\,\mathrm{m}}{10\,\mathrm{m/s}}$ ,
$x = \dfrac{6}{1/\mathrm{s}}$ ,
$x = \dfrac{6 \times \mathrm{s}}{(1/\mathrm{s}) \times \mathrm{s}}$ ,
$x = 6\,\mathrm{s}$ 이다.

이때 $\mathrm{A}$ 의 가속도는 $-5\,\mathrm{m/s^{2}}$ 이므로 $\mathrm{A}$ 가 $\mathrm{p}$ 를 지난 순간부터 $6\,\mathrm{s}$ 이후 $\mathrm{B}$ 와 만나는 순간 $\mathrm{A}$ 의 속도는
$10\,\mathrm{m/s} - 5\,\mathrm{m/s^{2}} \times 6\,\mathrm{s} = -20\,\mathrm{m/s}$ 이다.

속력은 속도의 크기에 해당하므로 $V = |-20\,\mathrm{m/s}| = 20\,\mathrm{m/s}$ 이다.

$\circ$ $\mathrm{B}$ 가 관찰자인 경우:

$\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 의 속도는 $v_{\mathrm{A}} - v_{\mathrm{B}}$ 이므로
$v_{\mathrm{BA}} = 10\,\mathrm{m/s} - 5t\,\mathrm{m/s^{2}} - (-5t\,\mathrm{m/s^{2}})$ ,
$v_{\mathrm{BA}} = 10\,\mathrm{m/s}$ 이다.

그러므로 아래 그림과 같이 $\mathrm{B}$ 가 봤을 때 $\mathrm{A}$ 는 $10\,\mathrm{m/s}$ 의 일정한 속력으로 빗면을 올라가는 방향으로 운동한다.

속력은 속도의 크기에 해당하므로 $V = |-20\,\mathrm{m/s}| = 20\,\mathrm{m/s}$ 이다.

따라서 정답은 $3$ 번이다.