ax=N(단, a>0, a=1이다.)에서 지수 x를 앞에 두어 x=⋯꼴로 표현하고 싶을 때, x=logaN으로 나타내는 방법이다.
여기서 a는 밑, N은 진수라 하며, log는 '로그'로 읽는다.
ax=N과 x=logaN은 본질적으로는 서로 같은 의미로, 무엇을 앞에 두어 강조하고 싶은지에 따라 쓰임이 다르다.
로그를 지수로도 바꿀 수 있으므로 x=logaN은 ax=N으로 나타낼 수 있다.
- 밑 조건:
0보다 크고, 1이 아니어야 한다.
- 진수 조건:
0보다 커야 한다.
2x=3을 로그로 나타내보자.
ax=N(단, a>0, a=1이다.)은 x=logaN으로 나타낼 수 있다.
2x=3은 a=2, N=3인 경우이므로 2x=3을 로그로 나타내면 x=log23이다.
ax=N을 로그로 나타내면 x=logaN이고, 반대로 x=logaN을 지수로 나타내면 ax=N이다.
따라서 밑과 진수 조건을 만족할 때 로그는 아래와 같은 성질을 갖는다.
- loga1=0이다.
a0=1이므로 loga1=0이다.
- logaax=x이다.
logaax=x를 지수로 바꾸면 ax=ax이므로 logaax=x이다.
- logaNM=logaN+logaM이다.
ax=N, ay=M이라 할 때, NM=axay=ax+y이다.
NM=ax+y의 양변에 밑이 a인 로그를 취하면
logaNM=logaax+y,
logaNM=x+y⋯①이다.
ax=N에서 양변에 밑이 a인 로그를 취하면
logaax=logaN,
x=logaN이다.
마찬가지로 ay=M에서 양변에 밑이 a인 로그를 취하면
logaay=logaM,
y=logaM이다.
x=logaN, y=logaM을 ①에 넣으면
logaNM=x+y에서
logaNM=logaN+logaM이다.
- logaMN=logaN−logaM이다.
ax=N, ay=M이라 할 때, MN=ayax=ax−y이므로
MN=ax−y의 양변에 밑이 a인 로그를 취하면
logaMN=logaax−y,
logaMN=x−y이다.
logaMN=x−y에 위에서 구한 x=logaN, y=logaM을 넣으면
logaMN=logaN−logaM이다.
- k가 실수일 때, logaNk=klogaN이다.
ax=N의 양변을 k제곱하면 (ax)k=Nk,
axk=Nk이다.
axk=Nk의 양변에 밑이 a인 로그를 취하면
logaaxk=logaNk,
xk=logaNk이다.
xk=logaNk에 위에서 구한 x=logaN을 넣으면
(logaN)k=logaNk,
logaNk=klogaN이다.
- loga1=0 활용 예시:
log51의 값을 구해보자.
log51은 loga1=0에서 a=5인 경우이므로
log51=0이다.
- logaax=x 활용 예시:
log28의 값을 구해보자.
log28=log223이며,
log223은 logaax=x에서 a=2, x=3인 경우이므로
log223=3이다.
- logaNM=logaN+logaM 활용 예시:
log26을 진수가 6이 아닌 값으로 나타내보자.
log26=log2(2×3)이며,
log2(2×3)은 logaNM=logaN+logaM에서 a=2, N=2, M=3인 경우이므로
log2(2×3)=log22+log23=log221+log23=1+log23이다.
- logaMN=logaN−logaM 활용 예시:
log223을 진수가 23이 아닌 값으로 나타내보자.
log223은 logaMN=logaN−logaM에서 a=2, N=3, M=2인 경우이므로
log223=log23−log22=log23−log221=log23−1이다.
- logaNk=klogaN 활용 예시:
log59를 진수가 9가 아닌 값으로 나타내보자.
log59=log532이며,
log532은 logaNk=klogaN에서 a=5, N=3, k=2인 경우이므로
log532=2log53이다.
밑이 10인 로그이다.
상용로그의 밑은 생략할 수 있으므로 로그의 밑이 나타나 있지 않은 경우 밑은 10이라 생각한다.
log1000의 값을 구해보자.
log1000은 로그의 밑이 나타나 있지 않으므로 밑은 10이라 생각한다.
따라서 log1000=log101000=log10103=3이다.
정답: $3$
logaNM=logaN+logaM,
logaN+logaM=logaNM이므로
log224+log231=log224×31=log28이다.
logaax=x이므로
log28=log223=3이다.
따라서 정답은 3번이다.
정답: $3$
logaMN=logaN−logaM,
logaN−logaM=logaMN이므로
log345−log35=log3545=log39이다.
logaax=x이므로
log39=log332=2이다.
log100은 로그의 밑이 나타나 있지 않으므로 밑은 10이라 생각한다.
그러므로 log100=log10100=log10102=2이다.
log345−log35=log39=2이고, log100=2이므로
log345−log35+log100=2+2=4이다.
따라서 정답은 3번이다.
