¶ 지식 정보

¶ 타원

두 점으로부터 거리의 합이 같은 점들로 이루어진 도형이며, 여기서 두 점은 타원의 초점이라 한다.

¶ 타원의 방정식

타원의 중심이 원점에 있을 때 타원의 방정식은 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{a^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{b^\{2\}\}\; =\; 1$이다.
$aa$는 $xx$ 축 방향의 반지름이고,
$bb$는 $yy$ 축 방향의 반지름이다.

• 아래 그림과 같이 $a>ba\; >\; b$이면:

$1.1.$ $xx$ 축으로 긴 타원이며, 초점은 $xx$ 축에 위치한다.

$2.2.$ 두 초점으로부터 타원 위의 어느 지점까지의 거리의 합은 $2a2a$이다.

아래 그림과 같이 타원 위의 지점 $(-a,0)(-a,\; 0)$에 점 $\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$가 있다고 해보자.

$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$와 왼쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 주황색 선의 길이에 해당하고,
$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$와 오른쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 파란색 선의 길이에 해당한다.

이때, 주황색 선의 길이는 보라색 선의 길이와 같다.

그러므로 두 초점으로부터 타원 위의 어느 지점까지의 거리의 합은 보라색 선의 길이와 파란색 선의 길이의 합인 $2a2a$임을 알 수 있다.

두 초점으로부터 타원 위의 어느 지점까지의 거리의 합이 $2a2a$이므로
아래 그림과 같이 타원 위의 지점 $(0,b)(0,\; b)$와 각 초점 사이의 거리는 $aa$로 같다.

$3.3.$ 두 초점의 위치를 각각 $(-c,0)(-c,\; 0)$, $(c,0)(c,\; 0)$이라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 $b^2+c^2=a^{2}b^\{2\}\; +\; c^\{2\}\; =\; a^\{2\}$이다.

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• 아래 그림과 같이 이면:

$1.1.$ $yy$ 축으로 긴 타원이며, 초점은 $yy$ 축에 위치한다.

$2.2.$ 두 초점으로부터 타원 위의 어느 지점까지의 거리의 합은 $2b2b$이다.

아래 그림과 같이 타원 위의 지점 $(0,b)(0,\; b)$에 점 $\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$가 있다고 해보자.

$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$와 위쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 주황색 선의 길이에 해당하고,
$\mathrm{P}\backslash mathrm\{P\}$와 아래쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 파란색 선의 길이에 해당한다.

이때, 주황색 선의 길이는 보라색 선의 길이와 같다.

그러므로 두 초점으로부터 타원 위의 어느 지점까지의 거리의 합은 보라색 선의 길이와 파란색 선의 길이의 합인 $2b2b$임을 알 수 있다.

두 초점으로부터 타원 위의 어느 지점까지의 거리의 합이 $2b2b$이므로
아래 그림과 같이 타원 위의 지점 $(a,0)(a,\; 0)$과 각 초점 사이의 거리는 $bb$로 같다.

$3.3.$ 두 초점의 위치를 각각 $(0,-c)(0,\; -c)$, $(0,c)(0,\; c)$라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 $a^2+c^2=b^{2}a^\{2\}\; +\; c^\{2\}\; =\; b^\{2\}$이다.

¶ 장반경과 단반경

장반경은 타원의 가장 긴 반지름이고,
단반경은 타원의 가장 짧은 반지름이다.

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{a^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{b^\{2\}\}\; =\; 1$에서 $aa$와 $bb$ 중
장반경은 큰 값이고, 단반경은 작은 값이다.

¶ 장반경과 단반경 예시

타원 ${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{4\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{9\}\; =\; 1$의 장반경과 단반경을 구해보자.

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{4\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{9\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{x^2}{2^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3^2}}=\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{2^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{3^\{2\}\}\; =\{\}$$11$이므로
${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{a^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{b^\{2\}\}\; =\; 1$에서 $a=2a\; =\; 2$, $b=3b\; =\; 3$에 해당한다.

$aa$와 $bb$ 중 장반경은 큰 값이고, 단반경은 작은 값이므로 장반경은 $33$, 단반경은 $22$이다.

¶ 타원 그리기 예시

타원 ${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{25}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{9\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{25\}\; =\; 1$을 초점과 함께 그려보자.

${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{25}}=\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{9\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{25\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{x^2}{3^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{5^2}}=\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{3^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{5^\{2\}\}\; =\{\}$$11$이므로 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{a^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{b^\{2\}\}\; =\; 1$에서

$1.1.$ $a=3a\; =\; 3$, $b=5b\; =\; 5$에 해당한다.
$b>ab\; >\; a$이므로 $yy$ 축으로 긴 타원이며, 초점은 $yy$ 축에 위치한다.

$2.2.$ $aa$와 $bb$ 중 장반경은 큰 값이고, 단반경은 작은 값이므로 장반경은 $55$, 단반경은 $33$이다.

$3.3.$ 두 초점의 위치를 각각 $(0,-c)(0,\; -c)$, $(0,c)(0,\; c)$라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 $3^2+c^2=5^{2}3^\{2\}\; +\; c^\{2\}\; =\; 5^\{2\}$이다.

$3^2+c^2=5^{2}3^\{2\}\; +\; c^\{2\}\; =\; 5^\{2\}$,
$9+c^2=259\; +\; c^\{2\}\; =\; 25$,
$c^2=25-9c^\{2\}\; =\; 25\; -\; 9$,
$c^2=16c^\{2\}\; =\; 16$,
$c^2=4^{2}c^\{2\}\; =\; 4^\{2\}$인데, 이때 $cc$는 양수이므로
$c=4c\; =\; 4$이다.

$4.4.$ 구한 내용을 바탕으로 타원과 초점을 그리면 아래 그림과 같다.

¶ 타원의 이심률

$cc$를 장반경으로 나눈 값으로, 원에 비해 얼마나 찌그러졌는지를 나타낸다.
기호로 $ee$로 나타내고, 단위는 없다.
$00$에 가까울수록 타원은 원에 가깝다.

¶ 타원의 이심률 예시

타원 ${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{25\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{9\}\; =\; 1$의 이심률을 구해보자.

${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{25\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{9\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{x^2}{5^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3^2}}=\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{5^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{3^\{2\}\}\; =\{\}$$11$이므로 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\backslash dfrac\{x^\{2\}\}\{a^\{2\}\}\; +\; \backslash dfrac\{y^\{2\}\}\{b^\{2\}\}\; =\; 1$에서

$1.1.$ $a=5a\; =\; 5$, $b=3b\; =\; 3$에 해당한다.
$a>ba\; >\; b$이므로 $xx$ 축으로 긴 타원이며, 초점은 $xx$ 축에 위치한다.

$2.2.$ $aa$와 $bb$ 중 장반경은 큰 값이고, 단반경은 작은 값이므로 장반경은 $55$, 단반경은 $33$이다.

$3.3.$ 두 초점의 위치를 각각 $(-c,0)(-c,\; 0)$, $(c,0)(c,\; 0)$이라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 $3^2+c^2=5^{2}3^\{2\}\; +\; c^\{2\}\; =\; 5^\{2\}$이다.

$3^2+c^2=5^{2}3^\{2\}\; +\; c^\{2\}\; =\; 5^\{2\}$,
$9+c^2=259\; +\; c^\{2\}\; =\; 25$,
$c^2=25-9c^\{2\}\; =\; 25\; -\; 9$,
$c^2=16c^\{2\}\; =\; 16$,
$c^2=4^{2}c^\{2\}\; =\; 4^\{2\}$인데, 이때 $cc$는 양수이므로
$c=4c\; =\; 4$이다.

$4.4.$ 이심률 $ee$는 $cc$를 장반경으로 나눈 값이다.
$c=4c\; =\; 4$, 장반경은 $55$이므로 $e=4÷5={\displaystyle \frac{4}{5}}e\; =\; 4\; \backslash div\; 5\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{5\}$이다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항