¶ 지식 정보
| 해당 지식 | |
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| 하위 지식 | 상위 지식 |
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¶ 타원
두 점으로부터 거리의 합이 같은 점들로 이루어진 도형이며, 여기서 두 점은 타원의 초점이라 한다.
¶ 타원의 방정식
타원의 중심이 원점에 있을 때 타원의 방정식은 이다.
는 축 방향의 반지름, 는 축 방향의 반지름이다.
- 아래 그림과 같이 이면:
. 축으로 긴 타원이며, 초점은 축에 위치한다.
. 두 초점으로부터 타원의 어느 지점까지의 거리의 합은 이다.
아래 그림처럼 타원 위의 지점 에 점 가 있다고 해보자.
와 왼쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 주황색 선의 길이에 해당하고,
와 오른쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 파란색 선의 길이에 해당한다.
이때, 주황색 선의 길이는 보라색 선의 길이와 같다.
그러므로 두 초점으로부터 타원의 어느 지점까지의 거리의 합은 보라색 선의 길이와 파란색 선의 길이의 합인 임을 알 수 있다.
두 초점으로부터 타원의 어느 지점까지의 거리의 합이 이므로
아래 그림과 같이 타원 위의 지점 와 각 초점 사이의 거리는 로 같다.
. 두 초점의 위치를 각각 이라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 이다.
- 아래 그림과 같이 이면:
. 축으로 긴 타원이며, 초점은 축에 위치한다.
. 두 초점으로부터 타원의 어느 지점까지의 거리의 합은 이다.
아래 그림처럼 타원 위의 지점 에 점 가 있다고 해보자.
와 위쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 주황색 선의 길이에 해당하고,
와 아래쪽에 위치한 초점 사이의 거리는 파란색 선의 길이에 해당한다.
이때, 주황색 선의 길이는 보라색 선의 길이와 같다.
그러므로 두 초점으로부터 타원의 어느 지점까지의 거리의 합은 보라색 선의 길이와 파란색 선의 길이의 합인 임을 알 수 있다.
두 초점으로부터 타원의 어느 지점까지의 거리의 합이 이므로
아래 그림과 같이 타원 위의 지점 과 각 초점 사이의 거리는 로 같다.
. 두 초점의 위치를 각각 라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 이다.
¶ 타원의 장반경과 단반경
장반경은 타원의 가장 긴 반지름, 단반경은 타원의 가장 짧은 반지름이다.
에서 와 중 큰 값이 장반경, 작은 값이 단반경이다.
¶ 타원의 장반경과 단반경 예시
타원 의 장반경과 단반경을 구해보자.
이므로
에서 에 해당한다.
와 중 큰 값이 장반경, 작은 값이 단반경이므로 장반경은 , 단반경은 이다.
¶ 타원 그리기 예시
타원 을 초점과 함께 그려보자.
이므로 에서
. 에 해당한다.
이므로 축으로 긴 타원이며, 초점은 축에 위치한다.
. 와 중 큰 값이 장반경, 작은 값이 단반경이므로 장반경은 , 단반경은 이다.
. 두 초점의 위치를 각각 라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 이다.
인데, 이때 는 양수이므로
이다.
. 구한 내용을 바탕으로 타원과 초점을 그리면 아래와 같다.
¶ 타원의 이심률
를 장반경으로 나눈 물리량으로, 원에 비해 얼마나 찌그러졌는지를 나타낸다.
이심률이 에 가까울수록 타원은 원에 가깝다. 이심률을 기호로 표기할 때, 로 표기한다.
¶ 타원의 이심률 예시
타원 의 이심률을 구해보자.
이므로 에서
. 에 해당한다.
이므로 축으로 긴 타원이며, 초점은 축에 위치한다.
. 와 중 큰 값이 장반경, 작은 값이 단반경이므로 장반경은 , 단반경은 이다.
. 두 초점의 위치를 각각 이라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 이다.
인데, 이때 는 양수이므로
이다.
. 이심률 는 를 장반경으로 나눈 물리량이다.
, 장반경은 이므로 이다.
¶ 적용 문항
¶ 1번 문항
정답: $4$
이므로 에서
, 에 해당한다.
이므로 축으로 긴 타원이며, 초점은 축에 위치한다.
구한 내용을 바탕으로 타원을 그리면 아래와 같다.
따라서 정답은 번이다.
¶ 2번 문항
정답: $4$
이므로 에서
. 에 해당한다.
이므로 축으로 긴 타원이며, 초점은 축에 위치한다.
. 와 중 큰 값이 장반경, 작은 값이 단반경이므로 장반경은 , 단반경은 이다.
. 두 초점의 위치를 각각 이라 할 때, 피타고라스 정리에 의해 이다.
인데, 이때 는 양수이므로
이다.
. 이심률 는 를 장반경으로 나눈 물리량이다.
, 장반경은 이므로 이다.
따라서 정답은 번이다.