¶ 지식 정보

¶ 독립사건

두 사건이 서로 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때, 두 사건은 독립사건이라 한다.

¶ 독립사건 예시

주머니에 흰 공 $22$개, 검은 공 $33$개가 들어 있다.
첫 번째 공을 임의로 꺼내 색을 확인한 뒤, 주머니에 다시 넣고 섞은 후 두 번째 공을 임의로 꺼내 색을 확인하는 경우를 생각해보자.

첫 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $AA$, 두 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $BB$라 해보자.
첫 번째로 꺼낸 공의 색을 확인한 뒤, 주머니에 다시 넣었으므로
두 번째로 공을 임의로 꺼내는 상황은 첫 번째와 완전히 동일한 상황이다.

따라서 $AA$와 $BB$는 서로 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 $AA$와 $BB$는 독립사건이다.

¶ 독립사건의 확률

두 독립사건 $AA$와 $BB$는 서로 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 $\mathrm{P}(B\mathrm{\mid }A)=\mathrm{P}(B)\backslash mathrm\{P\}(B|A)\; =\; \backslash mathrm\{P\}(B)$이다.
따라서 $AA$와 $BB$가 동시에 일어날 확률은 $\mathrm{P}(A\cap B)=\backslash mathrm\{P\}(A\; \backslash cap\; B)\; =\{\}$$\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B\mathrm{\mid }A)=\backslash mathrm\{P\}(A)\backslash mathrm\{P\}(B|A)\; =\{\}$$\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)\backslash mathrm\{P\}(A)\backslash mathrm\{P\}(B)$이다.

¶ 독립사건의 확률 예시

주머니에 흰 공 $22$개, 검은 공 $33$개가 들어 있다.
첫 번째 공을 임의로 꺼내 색을 확인한 뒤, 주머니에 다시 넣고 섞은 후 두 번째 공을 임의로 꺼내 색을 확인한다.
첫 번째 공이 흰 공이고, 두 번째 공이 검은 공일 확률을 구해보자.

첫 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $AA$, 두 번째로 꺼낸 공이 검은 공일 사건을 $BB$라 해보자.
첫 번째로 꺼낸 공의 색을 확인한 뒤, 주머니에 다시 넣었으므로
두 번째로 공을 임의로 꺼내는 상황은 첫 번째와 완전히 동일한 상황이다.

따라서 $AA$와 $BB$는 서로 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 $AA$와 $BB$는 독립사건이다.

그러므로 첫 번째 공이 흰 공이고, 두 번째 공이 검은 공일 확률은 $\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)\backslash mathrm\{P\}(A)\backslash mathrm\{P\}(B)$이다.

$\mathrm{P}(A)={\displaystyle \frac{2}{2+3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash mathrm\{P\}(A)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{2\; +\; 3\}\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{5\}$,
$\mathrm{P}(B)={\displaystyle \frac{3}{2+3}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\backslash mathrm\{P\}(B)\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{2\; +\; 3\}\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{5\}$이므로
$\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)={\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{25}}\backslash mathrm\{P\}(A)\backslash mathrm\{P\}(B)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{5\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{3\}\{5\}\; =\; \backslash dfrac\{6\}\{25\}$이다.

¶ 종속사건

두 사건이 서로 일어날 확률에 영향을 줄 때, 두 사건은 종속사건이라 한다.

¶ 종속사건 예시

주머니에 흰 공 $22$개, 검은 공 $33$개가 들어 있다.
첫 번째 공을 임의로 꺼내 색을 확인한 뒤, 주머니에 다시 넣지 않고 두 번째 공을 임의로 꺼내 색을 확인하는 경우를 생각해보자.

첫 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $AA$, 두 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $BB$라 해보자.

첫 번째로 꺼낸 공의 색을 확인한 뒤, 주머니에 다시 넣지 않았으므로
두 번째로 공을 임의로 꺼내는 상황은 첫 번째와 다른 상황이다.
따라서 $AA$는 $BB$가 일어날 확률에 영향을 주므로 $AA$와 $BB$는 종속사건이다.

첫 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 확률은 $\mathrm{P}(A)={\displaystyle \frac{2}{2+3}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash mathrm\{P\}(A)\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{2\; +\; 3\}\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{5\}$이다.

첫 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 때, 두 번째로 공을 꺼낼 때 남은 공은 흰 공이 $11$개, 검은 공이 $33$개이므로
두 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 확률은 $\mathrm{P}(B\mathrm{\mid }A)={\displaystyle \frac{1}{1+3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash mathrm\{P\}(B|A)\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{1\; +\; 3\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}$이다.

그러므로 두 공 모두 흰 공일 확률은 $\mathrm{P}(A\cap B)=\backslash mathrm\{P\}(A\; \backslash cap\; B)\; =\{\}$$\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B\mathrm{\mid }A)=\backslash mathrm\{P\}(A)\backslash mathrm\{P\}(B|A)\; =\{\}$${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=\backslash dfrac\{2\}\{5\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{2}{20}}=\backslash dfrac\{2\}\{20\}\; =\{\}$${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$이다.

만약 첫 번째로 꺼낸 공의 색을 확인하지 않는다면, 두 번째 공이 흰 공일 확률은
첫 번째로 흰 공을 꺼낸 경우와 그렇지 않은 경우의 확률을 각각 구해 더하면 ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash dfrac\{3\}\{5\}\; \backslash times\; \backslash dfrac\{2\}\{4\}\; =\; \backslash dfrac\{2\}\{5\}$이다.
따라서 $\mathrm{P}(B)\backslash mathrm\{P\}(B)$는 $\mathrm{P}(A)\backslash mathrm\{P\}(A)$와 같은 ${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$이고, $\mathrm{P}(B\mathrm{\mid }A)\backslash mathrm\{P\}(B|A)$는 ${\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash dfrac\{1\}\{4\}$이므로 $\mathrm{P}(B)\mathrm{\ne }\mathrm{P}(B\mathrm{\mid }A)\backslash mathrm\{P\}(B)\; \backslash neq\; \backslash mathrm\{P\}(B|A)$임에 주의한다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항