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$-$
물체가 운동하면서 지나간 경로이다.
수평 방향으로 등속도 운동 을 하고, 수직(연직) 방향으로 등가속도 운동 을 하여 곡선 궤적 을 그리는 운동이다.
그림과 같이 높이 H H 속력 v 0 v 0 수평 방향으로 던져진 물체 의 운동을 분석해보자. (단, 중력 가속도 는 g g
물체가 던져진 순간부터 물체가 수평면에 도달하는 데 걸린 시간을 t t 가속도 의 크기가 g g 등가속도 운동 을 하므로 물체의 연직 방향 속도-시간 그래프 를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 윗 방향을 양( + ) ( + )
높이 H H
H = 1 2 g t 2 H = 2 1 g t 2 2 H g = t 2 g 2 H = t 2 t = 2 H g t = g 2 H
물체는 수평 방향으로 속력 v 0 v 0 등속도 운동 을 하므로 수평면에 도달할 때까지 수평 방향으로 이동한 거리 R = v 0 t = v 0 2 H g R = v 0 t = v 0 g 2 H
물체가 던져진 순간부터 지난 시간을 T T 가속도 의 크기가 g g 등가속도 운동 을 하므로 연직 방향 속력 은 g T g T
이때 아래 그림과 같이 물체는 수평 방향으로 속력 v 0 v 0 등속도 운동 을 하므로 던져진 순간부터 T T 속력 은 ( g T ) 2 + v 0 2 ( g T ) 2 + v 0 2
그림과 같이 수평면과 θ θ 속력 v 0 v 0 중력 가속도 는 g g
v 0 v 0
물체가 최고점에 도달한 순간 연직 방향 속도 는 0 0 t t 가속도 의 크기가 g g 등가속도 운동 을 하므로v 0 sin θ − g t = 0 v 0 sin θ − g t = 0 v 0 sin θ = g t v 0 sin θ = g t t = v 0 sin θ g t = g v 0 s i n θ
물체가 던져진 순간부터 수평면에 도달할 때까지 연직 위 방향으로 이동한 거리와 연직 아래 방향으로 이동한 거리는 같으므로속도-시간 그래프 를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 윗 방향을 양( + ) ( + )
최고점의 높이 H H H = 1 2 × v 0 sin θ × v 0 sin θ g H = 2 1 × v 0 sin θ × g v 0 s i n θ H = v 0 2 ( sin θ ) 2 2 g H = 2 g v 0 2 ( s i n θ ) 2
물체는 던져진 순간부터 2 v 0 sin θ g g 2 v 0 s i n θ 속력 v 0 cos θ v 0 cos θ 등속도 운동 을 하므로 이 동안 물체가 수평 방향으로 이동한 거리R = v 0 cos θ × 2 v 0 sin θ g R = v 0 cos θ × g 2 v 0 s i n θ R = 2 v 0 2 sin θ cos θ g R = g 2 v 0 2 s i n θ c o s θ
그림과 같이 수평면과 3 0 ∘ 3 0 ∘ 40 m / s 4 0 m / s 속력 으로 던져진 물체가 포물선 운동 을 한다.H H R R 중력 가속도 는 10 m / s 2 1 0 m / s 2
연직 방향 속력 은 40 m / s × sin 3 0 ∘ = 40 m / s × 1 2 = 20 m / s 4 0 m / s × sin 3 0 ∘ = 4 0 m / s × 2 1 = 2 0 m / s 속력 은 40 m / s × cos 3 0 ∘ = 40 m / s × 3 2 = 20 3 m / s 4 0 m / s × cos 3 0 ∘ = 4 0 m / s × 2 3 = 2 0 3 m / s
물체가 던져진 순간, 속도 를 수평 방향과 연직 방향으로 분해하면 아래 그림과 같다.
물체가 던져진 순간부터 최고점에 도달하는 데 걸린 시간을 t t 가속도 의 크기가 10 m / s 2 1 0 m / s 2 등가속도 운동 을 하므로20 m / s − 10 t m / s 2 = 0 2 0 m / s − 1 0 t m / s 2 = 0 20 − 10 t s − 1 = 0 2 0 − 1 0 t s − 1 = 0 2 − t s − 1 = 0 2 − t s − 1 = 0 2 = t s − 1 2 = t s − 1 t = 2 s t = 2 s
따라서 물체의 연직 방향 속도-시간 그래프 를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 윗 방향을 양( + ) ( + )
최고점의 높이 H H H = 1 2 × 20 m / s × 2 s H = 2 1 × 2 0 m / s × 2 s H = 10 m / s × 2 s H = 1 0 m / s × 2 s H = 20 m H = 2 0 m
물체는 던져진 순간부터 4 s 4 s 속력 20 3 m / s 2 0 3 m / s 등속도 운동 을 하므로R = 20 3 m / s × 4 s = 80 3 m R = 2 0 3 m / s × 4 s = 8 0 3 m
1번 문항 정답 및 해설 보기
정답: $5$
ㄱ. 물체가 수평면에 도달할 때 연직 방향 속력 은 10 m / s 2 × t = 10 t m / s 2 1 0 m / s 2 × t = 1 0 t m / s 2 속도-시간 그래프 를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 윗 방향을 양( + ) ( + )
분홍색 면적은 80 m 8 0 m 80 m = 1 2 × 10 t m / s 2 × t 8 0 m = 2 1 × 1 0 t m / s 2 × t 80 m = 5 t m / s 2 × t 8 0 m = 5 t m / s 2 × t 80 m = 5 t 2 m / s 2 8 0 m = 5 t 2 m / s 2 80 = 5 t 2 s − 2 8 0 = 5 t 2 s − 2 16 = t 2 s − 2 1 6 = t 2 s − 2 4 2 = t 2 s − 2 4 2 = t 2 s − 2 4 = t s − 1 4 = t s − 1 t = 4 s t = 4 s
ㄴ. 물체는 수평 방향으로 속력 30 m / s 3 0 m / s 등속도 운동 을 하므로R = 30 m / s × 4 s R = 3 0 m / s × 4 s R = 120 m R = 1 2 0 m
ㄷ. 물체가 수평면에 도달할 순간 물체의 연직 방향 속력 은 10 m / s 2 × 4 s = 40 m / s 1 0 m / s 2 × 4 s = 4 0 m / s
이때 아래 그림과 같이 물체는 수평 방향으로 속력 30 m / s 3 0 m / s 등속도 운동 을 하므로 수평면에 도달할 때, 물체의 속력 은( 40 m / s ) 2 + ( 30 m / s ) 2 ( 4 0 m / s ) 2 + ( 3 0 m / s ) 2 ( 10 m / s ) 2 × 4 2 + ( 10 m / s ) 2 × 3 2 ( 1 0 m / s ) 2 × 4 2 + ( 1 0 m / s ) 2 × 3 2 10 m / s × 4 2 + 3 2 1 0 m / s × 4 2 + 3 2 10 m / s × 16 + 9 1 0 m / s × 1 6 + 9 10 m / s × 25 1 0 m / s × 2 5 10 m / s × 5 2 1 0 m / s × 5 2 10 m / s × 5 1 0 m / s × 5 50 m / s 5 0 m / s
따라서 정답은 5 5
2번 문항 정답 및 해설 보기
정답: $4$
연직 방향 속력 은 20 3 m / s × sin 6 0 ∘ = 20 3 m / s × 3 2 = 10 3 m / s × 3 = 30 m / s 2 0 3 m / s × sin 6 0 ∘ = 2 0 3 m / s × 2 3 = 1 0 3 m / s × 3 = 3 0 m / s 속력 은 20 3 m / s × cos 6 0 ∘ = 20 3 m / s × 1 2 = 10 3 m / s 2 0 3 m / s × cos 6 0 ∘ = 2 0 3 m / s × 2 1 = 1 0 3 m / s
물체가 던져진 순간, 속도 를 수평 방향과 연직 방향으로 분해하면 아래 그림과 같다.
물체가 던져진 순간부터 최고점에 도달하는 데 걸린 시간을 t t 가속도 의 크기가 10 m / s 2 1 0 m / s 2 등가속도 운동 을 하므로30 m / s − 10 m / s 2 × t = 0 3 0 m / s − 1 0 m / s 2 × t = 0 30 m / s − 10 t m / s 2 = 0 3 0 m / s − 1 0 t m / s 2 = 0 30 − 10 t s − 1 = 0 3 0 − 1 0 t s − 1 = 0 3 − t s − 1 = 0 3 − t s − 1 = 0 3 = t s − 1 3 = t s − 1 t = 3 s t = 3 s
그러므로 물체가 던져진 순간부터 최고점에 도달할 때까지 이동한 연직 거리를 h h T s T s 속도-시간 그래프 를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 윗 방향을 양( + ) ( + )
h h h = 1 2 × 30 m / s × 3 s h = 2 1 × 3 0 m / s × 3 s h = 15 m / s × 3 s h = 1 5 m / s × 3 s h = 45 m h = 4 5 m
물체는 던져진 순간부터 T s T s 속력 10 3 m / s 1 0 3 m / s 등속도 운동 을 하므로90 3 m = 10 3 m / s × T s 9 0 3 m = 1 0 3 m / s × T s 90 3 m = 10 3 T m 9 0 3 m = 1 0 3 T m T = 9 T = 9
h + H h + H h + H = 1 2 × ∣ 30 m / s − 10 T m / s ∣ × ( T s − 3 s ) h + H = 2 1 × ∣ 3 0 m / s − 1 0 T m / s ∣ × ( T s − 3 s )
이 식에 앞서 구한 h = 45 m h = 4 5 m T = 9 T = 9 h + H = 1 2 × ∣ 30 m / s − 10 T m / s ∣ × ( T s − 3 s ) h + H = 2 1 × ∣ 3 0 m / s − 1 0 T m / s ∣ × ( T s − 3 s ) 45 m + H = 1 2 × ∣ 30 m / s − 10 × 9 m / s ∣ × ( 9 s − 3 s ) 4 5 m + H = 2 1 × ∣ 3 0 m / s − 1 0 × 9 m / s ∣ × ( 9 s − 3 s ) 45 m + H = 1 2 × ∣ 30 m / s − 90 m / s ∣ × 6 s 4 5 m + H = 2 1 × ∣ 3 0 m / s − 9 0 m / s ∣ × 6 s 45 m + H = 1 2 × ∣ − 60 m / s ∣ × 6 s 4 5 m + H = 2 1 × ∣ − 6 0 m / s ∣ × 6 s 45 m + H = 1 2 × 60 m / s × 6 s 4 5 m + H = 2 1 × 6 0 m / s × 6 s 45 m + H = 30 m / s × 6 s 4 5 m + H = 3 0 m / s × 6 s 45 m + H = 180 m 4 5 m + H = 1 8 0 m H = 135 m H = 1 3 5 m
따라서 정답은 4 4
