¶ 지식 정보

¶ 궤적

물체가 운동하면서 지나간 경로이다.

¶ 포물선 운동

수평 방향으로 등속도 운동을 하고, 수직(연직) 방향으로 등가속도 운동을 하여 곡선 궤적을 그리는 운동이다.

¶ 수평 방향으로 던져진 물체

그림과 같이 높이 $HH$인 지점에서 속력 $v_{0}v\_\{0\}$로 수평 방향으로 던져진 물체의 운동을 분석해보자. (단, 중력 가속도는 $gg$이고, 물체의 크기와 공기 저항은 무시한다.)

물체가 던져진 순간부터 수평면에 도달하는 데 걸린 시간을 $tt$라 할 때, 물체는 연직 아래 방향으로 가속도의 크기가 $gg$인 등가속도 운동을 하므로 물체의 연직 방향 속도$--$시간 그래프를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 위 방향을 양$(+)(+)$으로 하였다.)

높이 $HH$는 분홍색 면적에 해당하므로
$H={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^{2}H\; =\; \backslash dfrac12gt^\{2\}$,
$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2H}{g}}}t\; =\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{2H\}\{g\}\}$이다.

물체는 수평 방향으로 속력 $v_{0}v\_\{0\}$인 등속도 운동을 하므로 수평면에 도달할 때까지 수평 방향으로 이동한 거리 $R=v_{0}t=v_0\sqrt{{\displaystyle \frac{2H}{g}}}R\; =\; v\_\{0\}t\; =\; v\_\{0\}\backslash sqrt\{\backslash dfrac\{2H\}\{g\}\}$이다.

물체가 던져진 순간부터 지난 시간을 $TT$라 할 때, 물체는 연직 아래 방향으로 가속도의 크기가 $gg$인 등가속도 운동을 하므로 연직 방향 속력은 $gTgT$이다.

이때 아래 그림과 같이 물체는 수평 방향으로 속력 $v_{0}v\_\{0\}$인 등속도 운동을 하므로 던져진 순간부터 $TT$만큼 지났을 때, 물체의 속력은 $\sqrt{(gT{)}^2+v_0^2}\backslash sqrt\{(gT)^\{2\}\; +\; v\_\{0\}^\{\backslash ,2\}\}$이다.

¶ 비스듬히 위로 던져진 물체

그림과 같이 수평면과 $\theta \backslash theta$의 각을 이루며 속력 $v_{0}v\_\{0\}$로 던져진 물체의 운동을 분석해보자. (단, 중력 가속도는 $gg$이고, 물체의 크기와 공기 저항은 무시한다.)

$v_{0}v\_\{0\}$를 수평 방향과 연직 방향으로 분해하면 아래 그림과 같다.

물체가 최고점에 도달한 순간 연직 방향 속도는 $00$이므로, 물체가 던져진 순간부터 최고점에 도달하는 데 걸린 시간을 $tt$라 할 때,
물체는 연직 아래 방향으로 가속도의 크기가 $gg$인 등가속도 운동을 하므로
$v_0\sin \theta -gt=0v\_\{0\}\backslash sin\backslash theta\; -\; gt\; =\; 0$,
$t={\displaystyle \frac{v_0\sin \theta }{g}}t\; =\; \backslash dfrac\{v\_\{0\}\backslash sin\backslash theta\}\{g\}$이다.

물체가 던져진 순간부터 수평면에 도달할 때까지 연직 위 방향으로 이동한 거리와 연직 아래 방향으로 이동한 거리는 같으므로
물체의 연직 방향 속도$--$시간 그래프를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 위 방향을 양$(+)(+)$으로 하였다.)

최고점의 높이 $HH$는 분홍색 또는 주황색으로 칠한 면적에 해당하므로
$H={\displaystyle \frac{1}{2}}\times v_0\sin \theta \times {\displaystyle \frac{v_0\sin \theta }{g}}H\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; \backslash times\; v\_\{0\}\backslash sin\backslash theta\; \backslash times\; \backslash dfrac\{v\_\{0\}\backslash sin\backslash theta\}\{g\}$,
$H={\displaystyle \frac{v_0^2(\sin \theta {)}^2}{2g}}H\; =\; \backslash dfrac\{v\_\{0\}^\{\backslash ,2\}(\backslash sin\backslash theta)^\{2\}\}\{2g\}$이다.

물체는 던져진 순간부터 ${\displaystyle \frac{2v_0\sin \theta }{g}}\backslash dfrac\{2v\_\{0\}\backslash sin\backslash theta\}\{g\}$ 동안 운동하여 수평면에 도달하고, 물체는 수평 방향으로 속력 $v_0\cos \theta v\_\{0\}\backslash cos\backslash theta$인 등속도 운동을 하므로 이 동안 물체가 수평 방향으로 이동한 거리
$R=v_0\cos \theta \times {\displaystyle \frac{2v_0\sin \theta }{g}}R\; =\; v\_\{0\}\backslash cos\backslash theta\; \backslash times\; \backslash dfrac\{2v\_\{0\}\backslash sin\backslash theta\}\{g\}$,
$R={\displaystyle \frac{2v_0^2\sin \theta \cos \theta }{g}}R\; =\; \backslash dfrac\{2v\_\{0\}^\{\backslash ,2\}\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash theta\}\{g\}$이다.

¶ 포물선 운동 예시

그림과 같이 수평면과 $30^{\circ }30^\{\backslash circ\}$의 각을 이루며 $40\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}40\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$의 속력으로 던져진 물체가 포물선 운동을 한다.
물체의 최고점의 높이 $HH$와 물체가 던져진 순간부터 수평면에 도달할 때까지 수평 방향으로 이동한 거리 $RR$을 구해보자. (단, 중력 가속도는 $10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^{2}10\backslash ,\backslash mathrm\{m/s^\{2\}\}$이고, 물체의 크기와 공기 저항은 무시한다.)

연직 방향 속력은 $40\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\times \sin 30^{\circ }=20\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}40\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\; \backslash times\; \backslash sin\{30^\{\backslash circ\}\}\; =\; 20\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$,
수평 방향 속력은 $40\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\times \cos 30^{\circ }=20\sqrt{3}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}40\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\; \backslash times\; \backslash cos\{30^\{\backslash circ\}\}\; =\; 20\backslash sqrt\{3\}\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$이므로
물체가 던져진 순간, 속도를 수평 방향과 연직 방향으로 분해하면 아래 그림과 같다.

물체가 던져진 순간부터 최고점에 도달하는 데 걸린 시간을 $tt$라 할 때, 물체는 연직 아래 방향으로 가속도의 크기가 $10\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^{2}10\backslash ,\backslash mathrm\{m/s^\{2\}\}$인 등가속도 운동을 하므로
$20\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}-10t\mathrm{m}\mathrm{/}{\mathrm{s}}^2=020\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\; -\; 10t\backslash ,\backslash mathrm\{m/s^\{2\}\}\; =\; 0$,
$t=2\mathrm{s}t\; =\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{s\}$이다.

따라서 물체의 연직 방향 속도$--$시간 그래프를 그리면 아래 그림과 같다. (연직 위 방향을 양$(+)(+)$으로 하였다.)

최고점의 높이 $HH$는 분홍색 또는 주황색으로 칠한 면적에 해당하므로
$H={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 20\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\times 2\mathrm{s}H\; =\; \backslash dfrac12\; \backslash times\; 20\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\; \backslash times\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{s\}$,
$H=20\mathrm{m}H\; =\; 20\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$이다.

물체는 던져진 순간부터 $4\mathrm{s}4\backslash ,\backslash mathrm\{s\}$ 동안 운동하여 수평면에 도달하고, 물체는 수평 방향으로 속력 $20\sqrt{3}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}20\backslash sqrt\{3\}\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}$인 등속도 운동을 하므로
$R=20\sqrt{3}\mathrm{m}\mathrm{/}\mathrm{s}\times 4\mathrm{s}=80\sqrt{3}\mathrm{m}R\; =\; 20\backslash sqrt\{3\}\backslash ,\backslash mathrm\{m/s\}\; \backslash times\; 4\backslash ,\backslash mathrm\{s\}\; =\; 80\backslash sqrt\{3\}\backslash ,\backslash mathrm\{m\}$이다.

¶ 시뮬레이션

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

¶ 2번 문항