해당 지식
열을 공급하거나 흡수하는 열원과 물질이 열을 얼마나 잘 전도하는지 나타내는 열전도율, 고온부와 저온부 사이에서 이동한 열량을 설명합니다.
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열전도

¶ 지식 정보

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열을 공급하거나 흡수하는 열원과 물질이 열을 얼마나 잘 전도하는지 나타내는 열전도율, 고온부와 저온부 사이에서 이동한 열량을 설명합니다.
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¶ 열원

온도를 일정하게 유지하면서 열을 공급하거나 흡수하는 물체이다.

¶ 열전도율

어떤 물질이 열을 얼마나 잘 전도하는지를 나타내는 물리량이다.
기호로 $k$ 로 나타내고, 단위는 주로 $\mathrm{J/(m·s·K)}$ 을 사용한다.

¶ 전도되는 열량

그림과 같이 단면적이 $A$ , 길이가 $L$ , 열전도율이 $k$ 인 금속 막대의 양 끝의 고온부와 저온부 온도가 각각 $T_{1}$ , $T_{2}$ 로 일정할 때,
시간 $t$ 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량 $Q$ 는 $Q = kA\dfrac{(T_{1} - T_{2})}{L}t$ 이다.

고온부와 저온부 사이 막대에서 열이 이동하는 방향을 나타낸 열전도 모식도

¶ 전도되는 열량 예시

¶ 한 물체를 열원에 연결한 경우

그림은 길이가 $0.4\,\mathrm{m}$ 이고 단면적이 $0.2\,\mathrm{m^{2}}$ 인 금속 막대의 양 끝을 각각 $310\,\mathrm{K}$ , $300\,\mathrm{K}$ 인 열원에 연결한 후 충분한 시간이 지난 것을 나타낸 것이다. 금속 막대의 열전도율이 $200\,\mathrm{J/(m·s·K)}$ 일 때, $1$ 초 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량을 구해보자. (단, 열의 전달은 전도에 의해서만 이루어지고, 외부와의 열 출입은 없다.)

310K와 300K 열원 사이 금속 막대의 길이와 단면적을 나타낸 열전도 그림

단면적이 $A$ , 길이가 $L$ , 열전도율이 $k$ 인 금속 막대의 양 끝의 고온부와 저온부 온도가 각각 $T_{1}$ , $T_{2}$ 로 일정할 때,
시간 $t$ 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량 $Q$ 는 $Q = kA\dfrac{(T_{1} - T_{2})}{L}t$ 이다.

$1$ 초 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량을 $Q$ 라 하면,
$Q = kA\dfrac{(T_{1} - T_{2})}{L}t$ ,
$Q = 200\,\mathrm{J/(m·s·K)} \times 0.2\,\mathrm{m^{2}} \times \dfrac{(310\,\mathrm{K} - 300\,\mathrm{K})}{0.4\,\mathrm{m}} \times 1\,\mathrm{s}$ ,
$Q =$ $1000\,\mathrm{J} ={}$ $1 \times 10^{3}\,\mathrm{J} ={}$ $1\,\mathrm{kJ}$ 이다.

¶ 두 물체를 접촉시켜 열원에 연결한 경우

그림과 같이 단면적이 $S$ 로 같고, 길이가 각각 $L_{\mathrm{A}}$ , $L$ 인 물체 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 를 접촉시켜 양 끝을 각각 $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ , $35\,^{\circ}\mathrm{C}$ 인 열원에 연결하였다.
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 접촉 부분의 온도는 $60\,^{\circ}\mathrm{C}$ 로 일정하다. $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 열전도율은 각각 $k$ , $2 k$ 일 때, $L_{\mathrm{A}}$ 를 구해보자. (단, 열의 전달은 전도에 의해서만 이루어지고, 외부와의 열 출입은 없다.)

100°C와 35°C 사이 두 물질 A·B의 열전도 구조와 온도·길이 표시

열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하므로 $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ 열원 $\rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow 35\,^{\circ}\mathrm{C}$ 열원으로 이동한다.

만약 같은 시간 동안 이동한 열량이 $\mathrm{A}$ 에서가 $\mathrm{B}$ 에서보다 크면 $\mathrm{A}$ 에 열이 쌓여 접촉 부분의 온도가 높아지고,
같은 시간 동안 이동한 열량이 $\mathrm{B}$ 에서가 $\mathrm{A}$ 에서보다 크면 $\mathrm{A}$ 의 열이 빠져나가 접촉 부분의 온도는 낮아진다.

그림에서는 충분한 시간이 흘러 접촉 부분이 $60\,^{\circ}\mathrm{C}$ 로 유지되고 있으므로, 같은 시간 동안 이동한 열량이 $\mathrm{A}$ 에서와 $\mathrm{B}$ 에서가 같다.

시간 $t$ 동안 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 를 통해 이동한 열량을 각각 $Q_{\mathrm{A}}$ , $Q_{\mathrm{B}}$ , $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 단면적을 각각 $A_{\mathrm{A}}$ , $A_{\mathrm{B}}$ ,
$\mathrm{A}$ 의 양 끝의 고온부와 저온부 온도를 각각 $T_{1,\mathrm{A}}$ , $T_{2,\mathrm{A}}$ , $\mathrm{B}$ 의 양 끝의 고온부와 저온부 온도를 각각 $T_{1,\mathrm{B}}$ , $T_{2,\mathrm{B}}$ , $\mathrm{B}$ 의 길이를 $L_{\mathrm{B}}$ , $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 열전도율을 각각 $k_{\mathrm{A}}$ , $k_{\mathrm{B}}$ 라 하면,
$Q_{\mathrm{A}} = k_{\mathrm{A}}A_{\mathrm{A}}\dfrac{(T_{1,\mathrm{A}} - T_{2,\mathrm{A}})}{L_{\mathrm{A}}}t$ ,
$Q_{\mathrm{A}} = kS\dfrac{(100\,^{\circ}\mathrm{C} - 60\,^{\circ}\mathrm{C})}{L_{\mathrm{A}}}t$ ,
$Q_{\mathrm{A}} = 40kS\dfrac{t}{L_{\mathrm{A}}}\,^{\circ}\mathrm{C}$ 이고,
$Q_{\mathrm{B}} = k_{\mathrm{B}}A_{\mathrm{B}}\dfrac{(T_{1,\mathrm{B}} - T_{2,\mathrm{B}})}{L_{\mathrm{B}}}t$ ,
$Q_{\mathrm{B}} = 2kS\dfrac{(60\,^{\circ}\mathrm{C} - 35\,^{\circ}\mathrm{C})}{L}t$ ,
$Q_{\mathrm{B}} = 50kS\dfrac{t}{L}\,^{\circ}\mathrm{C}$ 이다.

이때 같은 시간 동안 $\mathrm{A}$ 를 통해 이동한 열량은 $\mathrm{B}$ 를 통해 이동한 열량과 같으므로,
$Q_{\mathrm{A}} = Q_{\mathrm{B}}$ ,
$40kS\dfrac{t}{L_{\mathrm{A}}}\,^{\circ}\mathrm{C} = 50kS\dfrac{t}{L}\,^{\circ}\mathrm{C}$ ,
$L_{\mathrm{A}} = \dfrac{4}{5}L$ 이다.

¶ 적용 문항

¶ 1번 문항

1번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $1$

$2$ 분( $120$ 초) 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량이 $400\,\mathrm{kJ}$ 이므로, $Q = kA\dfrac{(T_{1} - T_{2})}{L}t$ 에서 $2$ 분( $120$ 초) 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량은 $400\,\mathrm{kJ}$ 이다.
$400\,\mathrm{kJ} = 200\,\mathrm{J/(m·s·K)} \times S \times \dfrac{(80\,^{\circ}\mathrm{C} - 30\,^{\circ}\mathrm{C})}{0.3\,\mathrm{m}} \times 120\,\mathrm{s}$ ,이때 온도 변화량의 크기는 섭씨 온도와 절대 온도가 같으므로 $T_{1} - T_{2} = 80 - 30 = 50(\mathrm{K})$ 이다.
$400\,\mathrm{kJ} = 200S\,\mathrm{J/(m·s·K)} \times \dfrac{50\,^{\circ}\mathrm{C}}{0.3\,\mathrm{m}} \times 120\,\mathrm{s}$ 이다. $1\,\mathrm{kJ} = 10^{3}\,\mathrm{J}$ 을 이용해 $Q = kA\dfrac{(T_{1} - T_{2})}{L}t$ 에 대입하면 $400 \times 10^{3} = 200 \times S \times \dfrac{50}{0.3} \times 120$ ,

이때 온도 변화량의 크기는 섭씨 온도와 절대 온도가 같으므로
$50\,^{\circ}\mathrm{C}$ 만큼의 변화는 $50\,\mathrm{K}$ 만큼의 변화와 같다. 따라서
$400\,\mathrm{kJ} = 200S\,\mathrm{J/(m·s·K)} \times \dfrac{50\,\mathrm{K}}{0.3\,\mathrm{m}} \times 120\,\mathrm{s}$ ,
$400\,\mathrm{kJ} = 4\,000\,000S\,\mathrm{J/m^{2}}$ ,
$400 \times 10^{3}\,\mathrm{J} = 4\,000\,000S\,\mathrm{J/m^{2}}$ ,
$S = 0.1\,\mathrm{m^{2}}$ 이다.

따라서 정답은 $1$ 번이다.

¶ 2번 문항

2번 문항 정답 및 해설 보기

정답: $4$

열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하므로 $100\,^{\circ}\mathrm{C}$ 열원 $\rightarrow \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow 40\,^{\circ}\mathrm{C}$ 열원으로 이동하고,
접촉 부분의 온도가 $T$ 로 일정하므로 같은 시간 동안 $\mathrm{A}$ 를 통해 이동한 열량은 $\mathrm{B}$ 를 통해 이동한 열량과 같다.

시간 $t$ 동안 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 를 통해 이동한 열량을 각각 $Q_{\mathrm{A}}$ , $Q_{\mathrm{B}}$ , $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 길이를 각각 $L_{\mathrm{A}}$ , $L_{\mathrm{B}}$ ,
$\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 단면적을 각각 $A_{\mathrm{A}}$ , $A_{\mathrm{B}}$ , $\mathrm{A}$ 의 고온부 온도를 $T_{1,\mathrm{A}}$ , $\mathrm{B}$ 의 저온부 온도를 $T_{2,\mathrm{B}}$ , $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{B}$ 의 열전도율을 각각 $k_{\mathrm{A}}$ , $k_{\mathrm{B}}$ 라 하면,
$Q_{\mathrm{A}} = k_{\mathrm{A}}A_{\mathrm{A}}\dfrac{(T_{1,\mathrm{A}} - T)}{L_{\mathrm{A}}}t$ ,
$Q_{\mathrm{A}} = 4kS\dfrac{(100\,^{\circ}\mathrm{C} - T)}{2L}t$ ,
$Q_{\mathrm{A}} = 2kS\dfrac{(100\,^{\circ}\mathrm{C} - T)}{L}t$ 이고,
$Q_{\mathrm{B}} = k_{\mathrm{B}}A_{\mathrm{B}}\dfrac{(T - T_{2,\mathrm{B}})}{L_{\mathrm{B}}}t$ ,
$Q_{\mathrm{B}} = kS\dfrac{(T - 40\,^{\circ}\mathrm{C})}{L}t$ 이다.

이때 같은 시간 동안 $\mathrm{A}$ 를 통해 이동한 열량은 $\mathrm{B}$ 를 통해 이동한 열량과 같으므로,
$Q_{\mathrm{A}} = Q_{\mathrm{B}}$ ,
$2kS\dfrac{(100\,^{\circ}\mathrm{C} - T)}{L}t = kS\dfrac{(T - 40\,^{\circ}\mathrm{C})}{L}t$ ,
$T = 80\,^{\circ}\mathrm{C}$ 이다.

따라서 정답은 $4$ 번이다.