그림은 길이가 0.4m이고 단면적이 0.2m2인 금속 막대의 양 끝을 각각 310K, 300K인 열원에 연결한 후 충분한 시간이 지난 것을 나타낸 것이다. 금속 막대의 열전도율이 200J/m⋅s⋅K일 때, 1초 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량을 구해보자. (단, 열의 전달은 전도에 의해서만 이루어지고, 외부와의 열 출입은 없다.)
단면적이 A, 길이가 L, 열전도율이 k인 금속 막대의 양 끝의 고온부와 저온부 온도가 각각 T1, T2로 일정할 때,
시간 t 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량 Q는 Q=kAL(T1−T2)t와 같으므로
1초 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량을 Q라 하면, Q=kAL(T1−T2)t, Q=200J/m⋅s⋅K×0.2m2×0.4m(310K−300K)×1s, Q=40J⋅m/s⋅K×0.4m(310K−300K)×1s, Q=40J⋅m/s⋅K×0.4m10K×1s, Q=40J⋅m/s⋅K×0.4m×1010K×10×1s, Q=40J⋅m/s⋅K×4m100K×1s, Q=40J⋅m/s⋅K×1m25K×1s, Q=1000J/s×1s, Q=1000J=1×103J=1kJ이다.
그림과 같이 단면적이 S로 같고, 길이가 각각 LA, L인 물체 A, B를 접촉시켜 양 끝을 각각 100∘C, 35∘C인 열원에 연결하였다. A와 B의 접촉 부분의 온도는 60∘C로 일정하다. A와 B의 열전도율은 각각 k, 2k일 때, LA를 구해보자. (단, 열의 전달은 전도에 의해서만 이루어지고, 외부와의 열 출입은 없다.)
열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하므로 100∘C 열원 →A→B→35∘C 열원으로 이동한다.
만약 같은 시간 동안 이동한 열량이 A가 B보다 크면 A에 열이 쌓여 접촉 부분의 온도가 높아지고, B가 A보다 크면 A의 열이 쓰여 접촉 부분의 온도는 낮아진다.
그림에서는 충분한 시간이 흘러 접촉 부분이 60∘C로 유지되고 있으므로, 같은 시간 동안 이동한 열량은 A와 B가 같다.
시간 t 동안 A, B를 통해 이동한 열량을 각각 QA, QB, A와 B의 단면적을 각각 AA, AB, A의 양 끝의 고온부와 저온부 온도를 각각 T1,A, T2,A, B의 양 끝의 고온부와 저온부 온도를 각각 T1,B, T2,B라 하면, QA=kAAALA(T1,A−T2,A)t, QA=kSLA(100∘C−60∘C)t, QA=kSLA40∘Ct, QA=40kSLAt∘C이고,
단면적이 A, 길이가 L, 열전도율이 k인 금속 막대의 양 끝의 고온부와 저온부 온도가 각각 T1, T2로 일정할 때,
시간 t 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량 Q는 Q=kAL(T1−T2)t이다.
2분(120초) 동안 금속 막대를 통해 이동한 열량이 400kJ이므로, Q=kAL(T1−T2)t에서 400kJ=200J/m⋅s⋅K×S×0.3m(80∘C−30∘C)×120s, 400kJ=200SJ/m⋅s⋅K×0.3m(80∘C−30∘C)×120s, 400kJ=200SJ/m⋅s⋅K×0.3m50∘C×120s 이다.
이때 동일한 온도만큼 변했을 때, 변화의 크기는 섭씨 온도와 절대 온도가 같으므로 50∘C만큼의 변화는 50K만큼의 변화와 같다. 따라서 400kJ=200SJ/m⋅s⋅K×0.3m50K×120s, 400kJ=200SJ/m⋅s⋅K×0.3m×1050K×10×120s, 400kJ=200SJ/m⋅s⋅K×3m500K×120s, 400kJ=100000SJ/m2⋅s×40s, 400×103J=100000SJ/m2⋅s×40s, 4×105J=100000SJ/m2⋅s×40s, 4J=SJ/m2⋅s×40s, 4J=40SJ/m2, 1J=10SJ/m2, 1m2=10S, S=0.1m2이다.
열은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하므로 100∘C 열원 →A→B→40∘C 열원으로 이동하고,
접촉 부분의 온도가 T로 일정하므로 같은 시간 동안 A를 통해 이동한 열량은 B를 통해 이동한 열량과 같다.
시간 t 동안 A, B를 통해 이동한 열량을 각각 QA, QB, A와 B의 길이를 각각 LA, LB, A와 B의 단면적을 각각 AA, AB, A의 고온부 온도를 T1,A, B의 저온부 온도를 T2,B라 하면, QA=kAAALA(T1,A−T)t, QA=4kS2L(100∘C−T)t, QA=2kSL(100∘C−T)t이고,
QB=kBABLB(T−T2,B)t, QB=kSL(T−40∘C)t이다.
이때 같은 시간 동안 A를 통해 이동한 열량은 B를 통해 이동한 열량과 같으므로, QA=QB, 2kSL(100∘C−T)t=kSL(T−40∘C)t, 21(100∘C−T)=11(T−40∘C), 2(100∘C−T)=T−40∘C, 200∘C−2T=T−40∘C, 240∘C=3T, T=80∘C이다.
